時空 解 さんの日記
2017
8月
25
(金)
09:37
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
「問題の意味は解らないが、解法は判るので次に進む…」
これも１つの学習方法だとおもいますが、昨日はこれをする気になれませんでした。
いろいろ想ったのですが、数学検定のための学習と朝の数学の学習。この２つは区別してもいいだろう、と言う考えに至りました。
毎朝行っている数学の学習 ( 青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」最低３ページ ) は生涯続けようと思っている習慣です。それに対比すると、数学検定のための学習 ( 今回はユーキャンの数学検定２級ステップアップ問題集 ) は検定日と言う期日があります。検定範囲の学習を一通り行うためにも次に進めて行く方が良いでしょう。
これも１つの学習方法だとおもいますが、昨日はこれをする気になれませんでした。
いろいろ想ったのですが、数学検定のための学習と朝の数学の学習。この２つは区別してもいいだろう、と言う考えに至りました。
毎朝行っている数学の学習 ( 青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」最低３ページ ) は生涯続けようと思っている習慣です。それに対比すると、数学検定のための学習 ( 今回はユーキャンの数学検定２級ステップアップ問題集 ) は検定日と言う期日があります。検定範囲の学習を一通り行うためにも次に進めて行く方が良いでしょう。
でも朝の習慣としての数学…これは人生の目的のための数学です。量子力学の数式を理解するための学習です。考えたい時には３ページにこだわらずに、考える事を楽しんでもいいのではないか…そう思ったわけです。
昨日はそう思って、この問題の意味を考えていました。
問題は p139 基本例題86 (2) です。
「x ≧ 0」, 「y ≧ 0」, 「2x + y = 8」 のとき、「xy」 の最大値と最小値を求めよ。
問題は p139 基本例題86 (2) です。
「x ≧ 0」, 「y ≧ 0」, 「2x + y = 8」 のとき、「xy」 の最大値と最小値を求めよ。
たった１行の問題ですが、この答えとして参考書に解説されていた内容に納得が行きませんでした。
「xy」の最大値と最小値、と言うのはどう求めるかと言うと、例えば y を代入によって消去します。そうすると
「xy」=「x(8 - 2x)」ですので「-2x^2 + 8x」ですよね。上に凸の２次曲線グラフになります。ですから最大値はグラフの頂点ですので、式を基本形に変形すれば分かります。
基本形は「-2(x - 2)^2 + 8」となって、「x = 2 で最大値 8 」となります。
問題は最小値です。どうやって x の範囲を導くのか？と言う点です。
「xy」の最大値と最小値、と言うのはどう求めるかと言うと、例えば y を代入によって消去します。そうすると
「xy」=「x(8 - 2x)」ですので「-2x^2 + 8x」ですよね。上に凸の２次曲線グラフになります。ですから最大値はグラフの頂点ですので、式を基本形に変形すれば分かります。
基本形は「-2(x - 2)^2 + 8」となって、「x = 2 で最大値 8 」となります。
問題は最小値です。どうやって x の範囲を導くのか？と言う点です。
問題文の下に書かれている "指針" には、この最小値を求めるヒントとしてこう書かれています。
条件式から 「y = -2x + 8」として y を消去する。ただし、次の点に要注意。
消去する文字の条件 ( y ≧ 0 ) を、残る文字 ( x ) の条件に置き換える
条件式から 「y = -2x + 8」として y を消去する。ただし、次の点に要注意。
消去する文字の条件 ( y ≧ 0 ) を、残る文字 ( x ) の条件に置き換える
このヒントの意味は、詰まりは「2x + y = 8」を変形して「y = 8 - 2x」としてから「y ≧ 0」と言う条件を考える、と言う事です。そうすると「y = 8 - 2x ≧ 0」となりますので「8 -2x ≧ 0」が得られます。これを変形すると「x ≦ 4」となりますよね。
最小値は「0 ≦ x ≦ 4」と言う x の範囲を考える事で求める事が出来るのです。
最小値は「0 ≦ x ≦ 4」と言う x の範囲を考える事で求める事が出来るのです。
出来るのですが…ここで私は納得できませんでした。
「y ≧ 0」の条件を「x ≦ 4」と変換して良いのか…？
この疑問によって次に進めなかったのです。
「y ≧ 0」の条件を「x ≦ 4」と変換して良いのか…？
この疑問によって次に進めなかったのです。
みなさんは如何でしょうか？
この基本例題86 (2) をちょうど学習している高校生の方がいたのならば、感想を知りたい限りです。
この基本例題86 (2) をちょうど学習している高校生の方がいたのならば、感想を知りたい限りです。
でも、１日考えていてだんだんと納得出来てきました。納得出来なかった理由が少しづつ自覚出来てきたんですよね。
自分は変数文字 x と y とが「全く別の物を表している文字」と言う意識が強かったのでしょう。
例えば x をリンゴ。y をブドウという風に考えていました。この例え、分かりますか？
こうすると x の数値範囲と y の数値範囲を同等に扱う事には、ちょっと違和感を感じますよね。
でも x と y とが同じ形のコップだとしたらどうでしょうか？
コップには 8 リットルまで、水を入れる事が出来るとします。こう考えると x と y が扱っているのは水の量、と考える事が出来ます。そうすると「2x + y = 8」の意味は、２つのコップの水の量は合計８リットル、と言う条件だと言えます。
これならば「x ≧ 0」, 「y ≧ 0」と言う条件が「0 ≦ x ≦ 4」と言う形になっても変ではないですよね。
こんな風に納得できたのが、昨夜、布団に入ってからでした。
高校生の方は如何でしょうか？５０過ぎのオヤジだとこんな風に考えて行かないと納得できないくらい頭が固くなっているのですよ。
夜、布団に入ってからも考えていたので、今日も朝寝坊してしまいました。
でも今日も数学の学習、しますよ。
自分は変数文字 x と y とが「全く別の物を表している文字」と言う意識が強かったのでしょう。
例えば x をリンゴ。y をブドウという風に考えていました。この例え、分かりますか？
こうすると x の数値範囲と y の数値範囲を同等に扱う事には、ちょっと違和感を感じますよね。
でも x と y とが同じ形のコップだとしたらどうでしょうか？
コップには 8 リットルまで、水を入れる事が出来るとします。こう考えると x と y が扱っているのは水の量、と考える事が出来ます。そうすると「2x + y = 8」の意味は、２つのコップの水の量は合計８リットル、と言う条件だと言えます。
これならば「x ≧ 0」, 「y ≧ 0」と言う条件が「0 ≦ x ≦ 4」と言う形になっても変ではないですよね。
こんな風に納得できたのが、昨夜、布団に入ってからでした。
高校生の方は如何でしょうか？５０過ぎのオヤジだとこんな風に考えて行かないと納得できないくらい頭が固くなっているのですよ。
夜、布団に入ってからも考えていたので、今日も朝寝坊してしまいました。
でも今日も数学の学習、しますよ。
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| ブログを更新 | ９時４０分 | ８時３０分 |
| 数学の学習 | p139 例題のみ | p139 ～ p142 |
| そろばんの練習 | できず | ３０分 |
| + α 学習( LaTeX2ε 、コンテンツ作成など ) | ------ | ------ |
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