時空 解 さんの日記
2017
9月
19
(火)
09:43
マスペディア 020 ～ 027 割り切れるかどうか "位取り表記と方程式"
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マスペディア 1000
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
数学の問題を解いていると、よく分数を約分する必要が出て来ますよ。この時に分母、分子がどんな公約数で割り切れるのかを考えなくてはなりません。
約分に限らず、数学の問題に出てくる数値は ( 例えば 123 ) それがどんな数字で割り切れるのかを調べる必要が出てくるものです。
そんな時に皆さんはどうされているでしょうか？
約分に限らず、数学の問題に出てくる数値は ( 例えば 123 ) それがどんな数字で割り切れるのかを調べる必要が出てくるものです。
そんな時に皆さんはどうされているでしょうか？
私は「３で割り切れるかどうか」と言う事を真っ先に考え癖があります。これは小学生時代に
「３で割り切れるかどうかは、各桁の数字を足し合わせた数が３で割れるかどうかを確認してみれば分かるよ」
と言う先生の言葉に驚愕した覚えがあるからです。123 だったら 1 + 2 + 3 = 6 だから、６は３で割り切れます。これがとても便利で飛びついたのです。この頃から面倒くさがりの私でした。もちろんその理由は、小学生の時には教わりませんでした。
中学、高校と進むなか、この３で割り切れるかどうかを調べる方法に付いて、その証明法は教えて貰った事を覚えています。しかし私はどうしてもスッキリと理解できなかったのですよ。私はこのマスペディアの 021 を読んで初めて明確に理解できた気がします。中学、高校時代にはどうしても下記の事が受け入れられませんでした。
「３で割り切れるかどうかは、各桁の数字を足し合わせた数が３で割れるかどうかを確認してみれば分かるよ」
と言う先生の言葉に驚愕した覚えがあるからです。123 だったら 1 + 2 + 3 = 6 だから、６は３で割り切れます。これがとても便利で飛びついたのです。この頃から面倒くさがりの私でした。もちろんその理由は、小学生の時には教わりませんでした。
中学、高校と進むなか、この３で割り切れるかどうかを調べる方法に付いて、その証明法は教えて貰った事を覚えています。しかし私はどうしてもスッキリと理解できなかったのですよ。私はこのマスペディアの 021 を読んで初めて明確に理解できた気がします。中学、高校時代にはどうしても下記の事が受け入れられませんでした。
「123 と表記された数字は、実際は 100・1 + 10・2 + 3 ですよね」
この "実際は" と言う言葉に引っかかるのです。どうしてかと言うとこの説明は 100・1 に付いても適用出来てしまうからです。考えてみて下さい。 100 と表記された数字は実際は 100・1 + 10・0 + 0 なのですよね。そしたらまた先頭に 100 が出てくるのです。これがずっと続くわけです。「なんじぁこりゃ～」と、数学の授業中に隣の友達とふざけ合った事を想い出します。
ともかく位取り法の意味をよく理解できていないと私のようになってしまいます。「123 と表記された数字は、実際は 100・1 + 10・2 + 3 ですよね」と言う説明の中の "123" と "100・1 + 10・2 + 3" の意味の違い。これを理解しましょう。そのためにも
「３で割り切れるかどうかは、各桁の数字を足し合わせた数が３で割れるかどうかを確認してみれば分かるよ」
この事が正しい事を下記に示します。
「３で割り切れるかどうかは、各桁の数字を足し合わせた数が３で割れるかどうかを確認してみれば分かるよ」
この事が正しい事を下記に示します。
説明はマスペディア 1000
の 021 からの引用です。
の 021 からの引用です。各桁の数字を加えたものが３の倍数になっていれば、その数字は３で割り切れる。123 の場合、1+2+3=6 であり、６は３の倍数であることから、３で割り切れる。一方、235 は３で割り切れない。2+3+5=10 であって、１０は３の倍数ではないからだ。
これが機能するのは、「xyz」と書かれる数の実際の値が、100x + 20y + z となっているからだ。これは 99x + 9y + x + y + z と書くことができる。ここで、99x + 9y はもちろん３で割り切れる。だから 99x + 9y + x + y + z 全体が３で割り切れるのは、x + y + z が３で割り切れるときに限られる。
この説明で納得できるでしょうか？変数 x, y, z を使って数字を表記することで上手く説明されていると私は思いました。説明の中で出てくる「99x + 9y はもちろん３で割り切れる」と言うところがポイントのように思います。
このマスペディアの 020 ～ 027 を通して想う事は、
数学者は位取り法の構造を上手く利用して、割り切れるかどうかの証明法を考え出せるのだなぁ…と言う事です。「123」と言う数字をみて「xyz」と表記されている数字に抽象化できる訳です。そしてそれを方程式「100x + 20y + z 」に分解できるのですよね。
フェルマーやオイラー…優れた数学者たちはきっと、いとも簡単に３で割り切れる理由が頭に浮かんだ事でしょうね。隣の席の友人と「なんじゃこりゃ～」とふざけている自分とは違いますね…やっぱり。
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