50代から理数を学ぶ - マスペディア 117 - 円積問題 -

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時空解さんの日記

2017

12月 27

(水)

08:58

マスペディア 117 - 円積問題 -

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カテゴリーマスペディア 1000

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

古代ギリシャからある円積問題と呼ばれるものを皆さんもご存知でしょう。円が与えられた時に、その円と同じ面積を持つ正方形を作図する事が出来るか否か、と言う問題です。

この問題が「作図不可能である」と言う結論が出たのは、１８８２年なのだそうです。リンデマン - ワイエルシュトラースの定理によって、π が超越数であることが示させたからだそうです。

与えられた円の半径が 1 だった時のことを考えると、その円の面積は πr^2 なので、π × 1^2 = π。つまり、π の面積を持つ正方形の１辺の長さは √π です。ですから問題は、ある長さの線分(この場合は π )の平方根を作図できるか否かにかかってきます。

さて、平方根はユークリッド『原論』の命題 2.14 に示されている、とマスペディアのトピック 117 には書かれているので、さっそく検索してみたのですが…。
うーむ…
これが平方根とどうつながるのかちょっと私には分かりませんでした。皆さんはお分かりになりますかね？

ま、とにかく円積問題は正方形の一辺、マスペディアを信用するならば、円積問題は要するに π が超越数だから作図不可能だと言う事です。リンデンマン - ワイエルシュトラースの定理(リンデマンの定理)で π が超越数であることが示されたのですが…。

うーむ、ウィキペディアの定理の主張と言う部分のを見ても、内容が理解できません。π が超越数であると作図不可能と言う事ですが…じゃあ、ただの無理数だったら作図可能なんですかねぇ…マスペディア 1000 を 0001 から読んできましたが、それは判るようには書かれていませんでした。私の読み方が分からなかったのかな…？
今一度確認する機会を作りたいものです。

では今日も小さな一歩、挑戦から始めます。

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