時空 解 さんの日記
2018
2月
19
(月)
10:33
前の日記
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
定積分の勉強を一通り終えたところですが、こんなテクニックを学生時代に習ったかなぁ…と思う問題がありました。ですので、今日はその事に付いて書いてみましょう。
問題は 新課程 チャート式基礎と演習数学2+B
の p272 基礎例題 171 (2) から、下記の通りです。
等式 \( \displaystyle\int_a^xf(t)dt=x^2+2x-3 \) を満たす関数 \( f(x) \)、および定数 \( a \) の値を求めよ。
この問題のポイントは２つあるんですけどね。その２つとも高校時代に習った覚えがないのです。
でもこの問題、きっと良く出題される問題だと思います。何故かと言うと、微分も出てくるし解析的な考え方も必要だからです。総合力をためすのに持って来いの問題のように私は思います。
さて、この問題を解くためには２つ、やらなくてはいけない事があります。
まず１つ目。\( f(x) \) を求める必要があります。
私は最初、間違えて \( x^2+2x-3 \) を積分してしまいましたけど、これではダメですね。\( \displaystyle\int_a^xdt \) は \( t \) に付いて積分しろ！と言う記号なので、それと等しい \( x^2+2x-3 \) は積分されて出てきている数式と言う事です。ですから \( f(x) \) は \( x^2+2x-3 \) を微分しなくては求められません。
と言う事で与式の両辺を微分すると下記のようになります。
\( f(x)=2x+2 \)
これで求める関数 \( f(x) \) は求められました。
次は２つ目。\( a \) を求めるのですが、この求め方が私にとっては妙技でした。\( \displaystyle\int_a^xf(t)dt \) の上端についている変数 \( x \) に\( a \) を代入するんですねぇ～。そうすると\[ \displaystyle\int_a^af(t)dt=0 \]ですよね。つまり\[ 0=a^2+2a-3 \]となるのです。
これを因数分解すれば\[ (a-1)(a+3)=0 \]ですから \( a=1,-3 \) となって \( a \) が求められました。
これで問題は解けたわけですが…ちょっと疑問に想いませんか？どうして定数 \( a \) が定まってしまうのか疑問じゃありませんか？
と言う事で私はグラフを書いてみた次第です。
まぁグラフを書いたと言っても、カルキングソフトと言う数式エディタを使えばすぐにグラフを書けますので、それを利用しているだけですけどね。
それでカルキングソフトで \( x^2+2x-3 \) と \( 2x+2 \) をグラフ上に一緒に示します。
こうしてみると確かに \( a \) は \( -3 \) もしくは \( 1 \) でなくてはならない事が見て取れます。それを一緒に見て行きましょう。
ピンク色で囲ったところは、□の数を数えて貰うと分かりますよね。\( -3 \) です。そして双曲線 \( x^2+2x-3 \) の \( x=-2 \) の時が確かに \( -3 \) になっている事が分かります。これがすなわち\[ \displaystyle \int_{-3}^{-2}(2x+2)dt \]ですよね。
これと同じように茶色のところを見てみても \( a=1 \) の時には成り立っている事が分かります。
では例えば \( a=-1 \) ではどうでしょう？
グラブ上で言うと青色の三角の部分です。この面積は１ですよね。\[ \displaystyle \int_{-1}^0(2x+2)dt=1 \]ですが、双曲線の方は \( -3 \) を示していますよね。成り立っていません。
いかがでしょうか、皆さん。この問題は私に取っては意味を理解するのにちょっと手こずる問題でした。直ぐに左に示したグラフをイメージできたでしょうかね。
では今日も１日を始めます。
だいぶ遅くなっちゃったけどね。
定積分の勉強を一通り終えたところですが、こんなテクニックを学生時代に習ったかなぁ…と思う問題がありました。ですので、今日はその事に付いて書いてみましょう。
問題は 新課程 チャート式基礎と演習数学2+B
の p272 基礎例題 171 (2) から、下記の通りです。等式 \( \displaystyle\int_a^xf(t)dt=x^2+2x-3 \) を満たす関数 \( f(x) \)、および定数 \( a \) の値を求めよ。
この問題のポイントは２つあるんですけどね。その２つとも高校時代に習った覚えがないのです。
でもこの問題、きっと良く出題される問題だと思います。何故かと言うと、微分も出てくるし解析的な考え方も必要だからです。総合力をためすのに持って来いの問題のように私は思います。
さて、この問題を解くためには２つ、やらなくてはいけない事があります。
まず１つ目。\( f(x) \) を求める必要があります。
私は最初、間違えて \( x^2+2x-3 \) を積分してしまいましたけど、これではダメですね。\( \displaystyle\int_a^xdt \) は \( t \) に付いて積分しろ！と言う記号なので、それと等しい \( x^2+2x-3 \) は積分されて出てきている数式と言う事です。ですから \( f(x) \) は \( x^2+2x-3 \) を微分しなくては求められません。
と言う事で与式の両辺を微分すると下記のようになります。
\( f(x)=2x+2 \)
これで求める関数 \( f(x) \) は求められました。
次は２つ目。\( a \) を求めるのですが、この求め方が私にとっては妙技でした。\( \displaystyle\int_a^xf(t)dt \) の上端についている変数 \( x \) に\( a \) を代入するんですねぇ～。そうすると\[ \displaystyle\int_a^af(t)dt=0 \]ですよね。つまり\[ 0=a^2+2a-3 \]となるのです。
これを因数分解すれば\[ (a-1)(a+3)=0 \]ですから \( a=1,-3 \) となって \( a \) が求められました。
これで問題は解けたわけですが…ちょっと疑問に想いませんか？どうして定数 \( a \) が定まってしまうのか疑問じゃありませんか？
と言う事で私はグラフを書いてみた次第です。
まぁグラフを書いたと言っても、カルキングソフトと言う数式エディタを使えばすぐにグラフを書けますので、それを利用しているだけですけどね。
それでカルキングソフトで \( x^2+2x-3 \) と \( 2x+2 \) をグラフ上に一緒に示します。
こうしてみると確かに \( a \) は \( -3 \) もしくは \( 1 \) でなくてはならない事が見て取れます。それを一緒に見て行きましょう。
ピンク色で囲ったところは、□の数を数えて貰うと分かりますよね。\( -3 \) です。そして双曲線 \( x^2+2x-3 \) の \( x=-2 \) の時が確かに \( -3 \) になっている事が分かります。これがすなわち\[ \displaystyle \int_{-3}^{-2}(2x+2)dt \]ですよね。
これと同じように茶色のところを見てみても \( a=1 \) の時には成り立っている事が分かります。
では例えば \( a=-1 \) ではどうでしょう？
グラブ上で言うと青色の三角の部分です。この面積は１ですよね。\[ \displaystyle \int_{-1}^0(2x+2)dt=1 \]ですが、双曲線の方は \( -3 \) を示していますよね。成り立っていません。
いかがでしょうか、皆さん。この問題は私に取っては意味を理解するのにちょっと手こずる問題でした。直ぐに左に示したグラフをイメージできたでしょうかね。
では今日も１日を始めます。
だいぶ遅くなっちゃったけどね。
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