時空 解 さんの日記
2018
7月
6
(金)
10:23
前の日記
本文
三角関数の合成、こんな解釈をしました
皆さん、おはようございます。時空 解です。
( ブログの投稿が遅くなってすみません。m( _ _ )m )
数学検定まで、あと１６日です。テキスト ( 実用数学技能検定 要点整理 ２級 ) は p86～p91 を学習しました。再学習が必要だと感じた問題は下記の通りです。
・p86 基本問題 ３- (1),(2)
この問題を間違えるなんて、基本が成っていませんよね。自分自身にガッカリです。問題も解答もここに記載するほどのものではありませんので、スルーしますね。
それと
・p87 応用問題 １- (2)、
次の方程式を解きなさい。
25x−3⋅5x−10=0
この問題の解法は、良く出てくるテクニックの１つですよね。数式を単純化するテクニックを使います。直接変数の値が出せない時には、間接的にでも、その変数を求められる形に持って行く、と言う考え方です。
この問題を解くためには 5x=q と置いて与式をシンプルな形にしてみると解けます。
25x−3⋅5x−10=0 → q2−3q−10=10
( 以降省略… )
後は
・p87 応用問題 ３
です。これも式の形を累乗にするという、良く出てくるテクニックを使えば解ける訳ですが…でも累乗にする、と言う事に気づいても、この問題は変形の仕方が難しいですよね。私に取ってはそうでした。
それを覚えるしかないでしょうね。
最後に三角関数の合成ですが…。
asinθ+bcosθ=√a2+b2⋅sin(θ+φ)
この解釈、私は今まで難しく考え過ぎていました。これは "合成" であって、なにも自然の法則を含んだ"公式" ではないんですよね。
この等式が一般的に利用されている理由、それは sinθ と cosθ と言う２つの変数を１つにしたい。と言う理由からです。
確かに sinθ と cosθ を足し合わせているのに、どうして sin １つで表さす事ができるんだろう、と言う疑問はありますよね。でも、この合成の方法を直ぐに理解出来た方は「そんなことを考えてもねぇ…」と思っている事でしょう。なんと言っても、この合成を理解するためには、加法定理が解っていれば、後は式を変形するだけなんですからね。
sinθ と cosθ をそれぞれ単純な変数 x と y だとみる事も出来ますよね。連立方程式ではよく、この x と y の変数のうちのどちらか１つを消去して、もう１つの変数を求めます。
三角関数の合成でやっている操作は、これと同じような事だと私は思えるようになってきました。分かり難い点は消去して１つにするのではなく、変形する段階で sin １つから sin と cos の２つを作り出しているところでしょう。式の変形の方向性も、与えられた式 ( 与式 ) を変形するのではなく、目標としている式を与式に近づける、と言う方向性で式を変形している点です。
では、ここで三角形の合成がどんなカラクリか、見て行きましょう。
左辺：asinθ+bcosθ
右辺：√a2+b2⋅sin(θ+φ)
上記の２つを最終的にイコールで結べるように式を変形すればいいのですよね。
そこでまずは右辺を変形して、左辺と同じ形に持って行くために加法定理を使って展開します。
√a2+b2⋅sin(θ+φ)=√a2+b2⋅(sinθ⋅cosφ+cosθ⋅sinφ)
ここまでは加法定理を利用しているだけですから、分かりますよね。
ポイントは、ここの時点ですでに sin １つから sin と cos の２つを作り出しているところです。
ここから、さらに左辺に近づけるために式を整えます。
√a2+b2⋅(sinθ⋅cosφ+cosθ⋅sinφ)
=√a2+b2⋅sinθ⋅cosφ+√a2+b2⋅cosθ⋅sinφ
=√a2+b2⋅cosφ⋅sinθ+√a2+b2⋅sinφ⋅cosθ
ここまで式が変形されれば、後は見通しがつくのではないでしょうか。
左辺：asinθ+bcosθ
右辺の変形：√a2+b2⋅cosφ⋅sinθ+√a2+b2⋅sinφ⋅cosθ
上記の２つをイコールで結ぶためには、下記の２つがイコールになれば良い事が見て取れます。
a=√a2+b2⋅cosφ
b=√a2+b2⋅sinφ
上記をさらに変形すると
cosφ=a√a2+b2
sinφ=b√a2+b2
となります。これを利用して φ を求める事ができるようになります。
ここで注意したいのは、 φ は定数、 θ は変数、と言う点です。
加法定理を利用して合成を行いますので、私は何となく φ と θ がおなじものだと言うイメージを持ってしまっていました。この点も、三角関数の合成を利用する時に邪魔になったイメージです。
おっと
もう１０時を過ぎてしまいましたね。
この解説が皆さんのお役に立つといいんですけどね…。
では今日も何とか１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
皆さん、おはようございます。時空 解です。
( ブログの投稿が遅くなってすみません。m( _ _ )m )
数学検定まで、あと１６日です。テキスト ( 実用数学技能検定 要点整理 ２級 ) は p86～p91 を学習しました。再学習が必要だと感じた問題は下記の通りです。
・p86 基本問題 ３- (1),(2)
この問題を間違えるなんて、基本が成っていませんよね。自分自身にガッカリです。問題も解答もここに記載するほどのものではありませんので、スルーしますね。
それと
・p87 応用問題 １- (2)、
次の方程式を解きなさい。
25x−3⋅5x−10=0
この問題の解法は、良く出てくるテクニックの１つですよね。数式を単純化するテクニックを使います。直接変数の値が出せない時には、間接的にでも、その変数を求められる形に持って行く、と言う考え方です。
この問題を解くためには 5x=q と置いて与式をシンプルな形にしてみると解けます。
25x−3⋅5x−10=0 → q2−3q−10=10
( 以降省略… )
後は
・p87 応用問題 ３
です。これも式の形を累乗にするという、良く出てくるテクニックを使えば解ける訳ですが…でも累乗にする、と言う事に気づいても、この問題は変形の仕方が難しいですよね。私に取ってはそうでした。
それを覚えるしかないでしょうね。
最後に三角関数の合成ですが…。
asinθ+bcosθ=√a2+b2⋅sin(θ+φ)
この解釈、私は今まで難しく考え過ぎていました。これは "合成" であって、なにも自然の法則を含んだ"公式" ではないんですよね。
この等式が一般的に利用されている理由、それは sinθ と cosθ と言う２つの変数を１つにしたい。と言う理由からです。
確かに sinθ と cosθ を足し合わせているのに、どうして sin １つで表さす事ができるんだろう、と言う疑問はありますよね。でも、この合成の方法を直ぐに理解出来た方は「そんなことを考えてもねぇ…」と思っている事でしょう。なんと言っても、この合成を理解するためには、加法定理が解っていれば、後は式を変形するだけなんですからね。
sinθ と cosθ をそれぞれ単純な変数 x と y だとみる事も出来ますよね。連立方程式ではよく、この x と y の変数のうちのどちらか１つを消去して、もう１つの変数を求めます。
三角関数の合成でやっている操作は、これと同じような事だと私は思えるようになってきました。分かり難い点は消去して１つにするのではなく、変形する段階で sin １つから sin と cos の２つを作り出しているところでしょう。式の変形の方向性も、与えられた式 ( 与式 ) を変形するのではなく、目標としている式を与式に近づける、と言う方向性で式を変形している点です。
では、ここで三角形の合成がどんなカラクリか、見て行きましょう。
左辺：asinθ+bcosθ
右辺：√a2+b2⋅sin(θ+φ)
上記の２つを最終的にイコールで結べるように式を変形すればいいのですよね。
そこでまずは右辺を変形して、左辺と同じ形に持って行くために加法定理を使って展開します。
√a2+b2⋅sin(θ+φ)=√a2+b2⋅(sinθ⋅cosφ+cosθ⋅sinφ)
ここまでは加法定理を利用しているだけですから、分かりますよね。
ポイントは、ここの時点ですでに sin １つから sin と cos の２つを作り出しているところです。
ここから、さらに左辺に近づけるために式を整えます。
√a2+b2⋅(sinθ⋅cosφ+cosθ⋅sinφ)
=√a2+b2⋅sinθ⋅cosφ+√a2+b2⋅cosθ⋅sinφ
=√a2+b2⋅cosφ⋅sinθ+√a2+b2⋅sinφ⋅cosθ
ここまで式が変形されれば、後は見通しがつくのではないでしょうか。
左辺：asinθ+bcosθ
右辺の変形：√a2+b2⋅cosφ⋅sinθ+√a2+b2⋅sinφ⋅cosθ
上記の２つをイコールで結ぶためには、下記の２つがイコールになれば良い事が見て取れます。
a=√a2+b2⋅cosφ
b=√a2+b2⋅sinφ
上記をさらに変形すると
cosφ=a√a2+b2
sinφ=b√a2+b2
となります。これを利用して φ を求める事ができるようになります。
ここで注意したいのは、 φ は定数、 θ は変数、と言う点です。
加法定理を利用して合成を行いますので、私は何となく φ と θ がおなじものだと言うイメージを持ってしまっていました。この点も、三角関数の合成を利用する時に邪魔になったイメージです。
おっと
もう１０時を過ぎてしまいましたね。
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千里の道も一歩から。そしてその道は登り坂です。ローマは１日にして成らず、です。
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| ★ 習慣作りのための、小さな課題 | ☆ 実施状況 |
|---|---|
| そろばんの練習５問 (暗算の獲得) 数学の学習前 |
宮田 輝 そろばん教室 加減算編 宮田 輝 そろばん教室 乗算編 練習問題 ９ |
| 斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得) &fnbsp; 朝食前 |
グリップ３５回、腕立て２０回、腹筋２０回 |
| 数学の問題 １問 (物理学の数式の理解力の獲得) ９時１５分～１１時１５分 ,２時間 |
開始時間：９時２３分 実用数学技能検定 要点整理 ２級 ( 予定 p86～p91 )：結果 p86～p91 終了時間：１１時１５分 + 夜に３０分間 チャート式 数学 白II+B：やらず チャート式 数学 青I+A：やらず 昨日・数学の答え合わせは後でまとめてやる：〇 昨日・２時間は机から離れず、パソコンの画面も見ずに数学の学習に取り組む：× |
| 心の筋トレ (集中力の獲得) 習慣を実行するにあたって |
今朝・７時に布団から出る：７時３０分 --- ブログの投稿 --- 昨日・朝食は台所でとって２階へ：〇 昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：〇 昨日・寝床に入った時間：２３時３０分 |
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