三角関数の合成、こんな解釈をしました

皆さん、おはようございます。時空 解です。

( ブログの投稿が遅くなってすみません。m( _ _ )m )
数学検定まで、あと１６日です。テキスト ( 実用数学技能検定 要点整理 ２級 ) は p86～p91 を学習しました。再学習が必要だと感じた問題は下記の通りです。

・p86 基本問題 ３- (1),(2)
この問題を間違えるなんて、基本が成っていませんよね。自分自身にガッカリです。問題も解答もここに記載するほどのものではありませんので、スルーしますね。

それと
・p87 応用問題 １- (2)、
次の方程式を解きなさい。
$ 25^{x}-3 \cdot 5^{x}-10=0 $

この問題の解法は、良く出てくるテクニックの１つですよね。数式を単純化するテクニックを使います。直接変数の値が出せない時には、間接的にでも、その変数を求められる形に持って行く、と言う考え方です。
この問題を解くためには $ 5^x = q $ と置いて与式をシンプルな形にしてみると解けます。
$ 25^{x}-3 \cdot 5^{x}-10=0 $ → $ q^{2}-3q-10=10 $
( 以降省略… )

後は
・p87 応用問題 ３
です。これも式の形を累乗にするという、良く出てくるテクニックを使えば解ける訳ですが…でも累乗にする、と言う事に気づいても、この問題は変形の仕方が難しいですよね。私に取ってはそうでした。
それを覚えるしかないでしょうね。

最後に三角関数の合成ですが…。
$ a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin( \theta + \varphi ) $
この解釈、私は今まで難しく考え過ぎていました。これは "合成" であって、なにも自然の法則を含んだ"公式" ではないんですよね。
この等式が一般的に利用されている理由、それは $ \sin \theta  $ と $ \cos \theta $ と言う２つの変数を１つにしたい。と言う理由からです。
確かに $ \sin \theta  $ と $ \cos \theta $ を足し合わせているのに、どうして $ \sin  $ １つで表さす事ができるんだろう、と言う疑問はありますよね。でも、この合成の方法を直ぐに理解出来た方は「そんなことを考えてもねぇ…」と思っている事でしょう。なんと言っても、この合成を理解するためには、加法定理が解っていれば、後は式を変形するだけなんですからね。
$ \sin \theta  $ と $ \cos \theta $ をそれぞれ単純な変数  $ x $ と $ y $ だとみる事も出来ますよね。連立方程式ではよく、この  $ x $ と $ y $ の変数のうちのどちらか１つを消去して、もう１つの変数を求めます。
三角関数の合成でやっている操作は、これと同じような事だと私は思えるようになってきました。分かり難い点は消去して１つにするのではなく、変形する段階で $ \sin $ １つから $ \sin $ と $ \cos $ の２つを作り出しているところでしょう。式の変形の方向性も、与えられた式 ( 与式 ) を変形するのではなく、目標としている式を与式に近づける、と言う方向性で式を変形している点です。

では、ここで三角形の合成がどんなカラクリか、見て行きましょう。
左辺：$ a\sin \theta +b\cos \theta  $
右辺：$ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin( \theta + \varphi ) $

上記の２つを最終的にイコールで結べるように式を変形すればいいのですよね。
そこでまずは右辺を変形して、左辺と同じ形に持って行くために加法定理を使って展開します。

$ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin( \theta +\varphi ) = {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot (\sin {\theta} \cdot \cos {\varphi} + \cos {\theta} \cdot \sin {\varphi} ) $

ここまでは加法定理を利用しているだけですから、分かりますよね。
ポイントは、ここの時点ですでに $ \sin $ １つから $ \sin $ と $ \cos $ の２つを作り出しているところです。
ここから、さらに左辺に近づけるために式を整えます。

$ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot (\sin {\theta} \cdot \cos {\varphi} + \cos {\theta} \cdot \sin {\varphi} ) $
$ = {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \sin {\theta} \cdot \cos {\varphi} + {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \cos {\theta} \cdot \sin {\varphi} $
$ = {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \cos {\varphi} \cdot \sin {\theta} + {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \sin {\varphi} \cdot \cos {\theta} $

ここまで式が変形されれば、後は見通しがつくのではないでしょうか。
左辺：$ a\sin \theta +b\cos \theta  $
右辺の変形：$ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \cos {\varphi} \cdot \sin {\theta} + {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \sin {\varphi} \cdot \cos {\theta} $

上記の２つをイコールで結ぶためには、下記の２つがイコールになれば良い事が見て取れます。
 $ a= {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \cos {\varphi} $  
 $ b= {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \cdot \sin {\varphi} $ 

上記をさらに変形すると
 $ \cos {\varphi} = \displaystyle \frac{ a }{ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} } $ 
 $ \sin {\varphi} = \displaystyle \frac{ b }{ {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} } $ 

となります。これを利用して $ \varphi $ を求める事ができるようになります。
ここで注意したいのは、 $ \varphi $ は定数、 $ \theta $  は変数、と言う点です。
加法定理を利用して合成を行いますので、私は何となく $ \varphi $ と $ \theta $ がおなじものだと言うイメージを持ってしまっていました。この点も、三角関数の合成を利用する時に邪魔になったイメージです。

おっと 
もう１０時を過ぎてしまいましたね。
この解説が皆さんのお役に立つといいんですけどね…。

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