時空 解 さんの日記
2018
8月
1
(水)
09:42
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
昨日、青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の問題を解いていて、
「お、この問題はちょっとイキだなぁ…答えが楽しみだ」
と思った問題がありました。
その問題は 練習問題１５７,(3) です。問題を下に書いてみます。
練習問題１５７
$ \triangle ABC $ において、次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形か？
(3) $ \sin A \cos A = \sin B \cos B = \sin C \cos C $
実はこの問題、上記のように書かれていると想い込んで問題を解いていたので、面白い問題だなぁと思ったのです。
実際に出題されている問題文は下記のとおりです。
練習問題１５７
$ \triangle ABC $ において、次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形か？
(3) $ \sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C $
どこを勘違いして問題を解いていたかと言うと、$ \sin A \cos A = \sin B \cos B \color{red} {+} \color{none} \sin C \cos C $ の赤い部分、プラスをイコールとノートに写し間違えてしまっていました。それを解いていたんです。
そうなるとどうなるかと言うと…問題の与式は、$ \sin $ は正弦定理で辺だけの数式に変換。$ \cos $ は余弦定理で辺だけの数式に変換すのですが…。
$ \sin A = \displaystyle \frac{a}{2R} $
$ \cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $
ですので ( $ R $ は三角形の外接円の半径、$ a $ は $ \angle A $ の対辺 ) もともとの与式を解くと下記のようになります。
$ \displaystyle \frac{a}{2R} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{b}{2R} \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} + \frac{c}{2R} \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $
両辺に $ 4Rabc $ を掛けて $ a^2(b^2+c^2-a^2) = b^2(c^2+a^2-b^2) + c^2(a^2+b^2-c^2) $
ゆえに $ a^2b^2+a^2c^2-a^4=b^2c^2+b^2a^2-b^4+c^2a^2+c^2b^2-c^4 $
整理すると $ a^4-b^4+2b^2c^2-c^4=0 $
したがって $ a^4-(b^2-c^2)^2=0 $
よって $ \{a^2+(b^2-c^2)\}\{a^2-(b^2-c^2)\}=0 $
ゆえに $ a^2+b^2=c^2 $ または $ a^2+c^2=b^2 $
したがって、$ \triangle ABC $ は $ \angle B =90 \tcdegree $ または $ \angle C =90 \tcdegree $ の直角三角形となります。
ところが、私はプラスをイコールと間違えたもんだから $ \angle A $ も $ \angle B $ も $ \angle C $ も、すべての角が直角の三角形となる式が出来上がってしまったのでした。( まぁ式の変形過程は省略しますね )
$ a^2(b^2+c^2)-a^4 = b^2(a^2+c^2)-b^4 = c^2(a^2+b^2)-c^4 $
さて、この間違って出来上がってしまった数式をみて私は
「こんな $ \triangle ABC $ はありえないなぁ…。つまり答えは全ての角が $ 90\tcdegree $ の三角形となり、存在しない三角形、と言う答えかな…粋な問題だなぁ」
と関心してしまったんですよね。
本来ならば、こんな問題はありえないから、問題文を読み間違えているかな？と考えるべきところですよね…。
いやいや、それともこんな問題も実際に有ってもいいのですかね？
私は有った方がいいと思う派です…それとも計算間違いかなぁ、と、考えるべきでしょうかね…。
では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。
昨日、青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の問題を解いていて、
「お、この問題はちょっとイキだなぁ…答えが楽しみだ」
と思った問題がありました。
その問題は 練習問題１５７,(3) です。問題を下に書いてみます。
練習問題１５７
$ \triangle ABC $ において、次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形か？
(3) $ \sin A \cos A = \sin B \cos B = \sin C \cos C $
実はこの問題、上記のように書かれていると想い込んで問題を解いていたので、面白い問題だなぁと思ったのです。
実際に出題されている問題文は下記のとおりです。
練習問題１５７
$ \triangle ABC $ において、次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような形か？
(3) $ \sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C $
どこを勘違いして問題を解いていたかと言うと、$ \sin A \cos A = \sin B \cos B \color{red} {+} \color{none} \sin C \cos C $ の赤い部分、プラスをイコールとノートに写し間違えてしまっていました。それを解いていたんです。
そうなるとどうなるかと言うと…問題の与式は、$ \sin $ は正弦定理で辺だけの数式に変換。$ \cos $ は余弦定理で辺だけの数式に変換すのですが…。
$ \sin A = \displaystyle \frac{a}{2R} $
$ \cos A = \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $
ですので ( $ R $ は三角形の外接円の半径、$ a $ は $ \angle A $ の対辺 ) もともとの与式を解くと下記のようになります。
$ \displaystyle \frac{a}{2R} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{b}{2R} \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} + \frac{c}{2R} \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} $
両辺に $ 4Rabc $ を掛けて $ a^2(b^2+c^2-a^2) = b^2(c^2+a^2-b^2) + c^2(a^2+b^2-c^2) $
ゆえに $ a^2b^2+a^2c^2-a^4=b^2c^2+b^2a^2-b^4+c^2a^2+c^2b^2-c^4 $
整理すると $ a^4-b^4+2b^2c^2-c^4=0 $
したがって $ a^4-(b^2-c^2)^2=0 $
よって $ \{a^2+(b^2-c^2)\}\{a^2-(b^2-c^2)\}=0 $
ゆえに $ a^2+b^2=c^2 $ または $ a^2+c^2=b^2 $
したがって、$ \triangle ABC $ は $ \angle B =90 \tcdegree $ または $ \angle C =90 \tcdegree $ の直角三角形となります。
ところが、私はプラスをイコールと間違えたもんだから $ \angle A $ も $ \angle B $ も $ \angle C $ も、すべての角が直角の三角形となる式が出来上がってしまったのでした。( まぁ式の変形過程は省略しますね )
$ a^2(b^2+c^2)-a^4 = b^2(a^2+c^2)-b^4 = c^2(a^2+b^2)-c^4 $
さて、この間違って出来上がってしまった数式をみて私は
「こんな $ \triangle ABC $ はありえないなぁ…。つまり答えは全ての角が $ 90\tcdegree $ の三角形となり、存在しない三角形、と言う答えかな…粋な問題だなぁ」
と関心してしまったんですよね。
本来ならば、こんな問題はありえないから、問題文を読み間違えているかな？と考えるべきところですよね…。
いやいや、それともこんな問題も実際に有ってもいいのですかね？
私は有った方がいいと思う派です…それとも計算間違いかなぁ、と、考えるべきでしょうかね…。
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| ★ 習慣作りのための、小さな課題 | ☆ 実施状況 |
|---|---|
| そろばんの練習５問 (暗算の獲得) 数学の学習前 |
加減算 １～１００の足し算 １回、１～１００の引き算 １回 乗算 できず |
| 斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得) &fnbsp; 朝食前 |
グリップ４０回、腕立て伏せ１５回、腹筋２０回、斜め懸垂１４回 |
| 数学の問題 １問 (物理学の数式の理解力の獲得) ９時１５分～１１時１５分 ,計２時間 |
チャート式 数学 白II+B：できず チャート式 数学 青I+A：p242の途中～p243 昨日・数学の答え合わせは後でまとめてやる：〇 昨日・２時間は机から離れず、パソコンの画面も見ずに数学の学習に取り組む：× |
| 心の筋トレ (集中力の獲得) 習慣を実行するにあたって |
今朝・７時に布団から出る：７時４０分 --- ブログの投稿 --- 昨日・朝食は台所でとって２階へ：× 昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：× 昨日・寝床に入った時間：２３時４７分 |
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