(抜粋)
柿、りんご、みかんの３種類の果物が店頭にたくさんある。５個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよいものとする。
 

[考え方と解答]  柿、りんご、みかんの３種類の果物があつて、これらの中から５個の果物を買うというだけで、柿、りんご、みかんからそれぞれ何個ずつ買うかは指定がない。このような場合は、次のように考える。
買い物かごを用意して、その中に ２つの仕切り ( | で表す) を入れ、仕切りの左側には柿、仕切りと仕切りの間にはりんご、仕切りの右側にはみかんを入れる。例えば

　　〇|〇〇|〇〇　は　柿１|りんご２|みかん２
　　〇〇〇||〇〇　は　柿３|りんご０|みかん２
　　||〇〇〇〇〇　は　柿０|りんご０|みかん５　　　を表す。
 

このように考えると、５つの 〇　と　２つの | の順列の総数が、３種類の果物から５個を買う買い方の総数に一致する。
これは同じものを含む順列で、$ (3+5-1=)7 $個の場所から５個の場所を選ぶ組合せの数に等しい。
よって、求める場合の数は
　　　$ {}_{5+3-1} \mathrm{ C }_{5} = {}_7 \mathrm{ C }_5 = {}_7 \mathrm{ C }_2 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 $(通り)

うーむ…
考えすぎてすかね。学生の頃はピンと来たらもうそれで自信が沸いてきて「理解できたぁーーーっ！」と、喜べたもんですが…。

皆さんはこの重複組み合わせ、明確に理解できたでしょうか？

参考に下記の動画も観てみてくださいね。YouTube 動画です。

・重複組み合わせ【超わかる！高校数学I・A】～授業～場合の数＃２８
 

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