皆さん、おはようございます。時空 解です。
 

昨日 "実用数学技能検定 要点整理 ２級" の復習をしていると、下記のようなメモがノートに残されていました。
「答えは、相加平均と相乗平均の関係を利用している。これは納得できない」
今年の６月の事です。その問題と答えを下記に示します。

相加平均と相乗平均の関係がどのように利用されているのか、理解できていなかったのですね。
 

相加平均と相乗平均の関係は下記のような不等式で表されます。
$ a \gt 0, b \gt 0 $ のとき、$ \displaystyle \frac{ a+b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab } $ または $ a+b \geqq 2\sqrt{ ab } $

以前はこの関係式の証明と問題との関係が見えなかったのですが…今では見えます。

当時は頭が固かったですね…。

相加平均とは $ \displaystyle \frac{ a+b }{ 2 } $ の事で、つまりは普通に平均を出す時に使う計算式ですよね。でももう１つ別形の平均、相乗平均 $ \sqrt{ ab } $ と言う物もあって、これら２種類を一緒に扱うので、それで相加と相乗と言う区別をする必要がある、と言うだけの事です。
相乗平均の意味はともかく、ここでは数式 $ \displaystyle \frac{ a+b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab } $ または $ a+b \geqq 2\sqrt{ ab } $ が証明できればそれでいいのです。
 

と言うことで $ a+b \geqq 2\sqrt{ ab } $ が正しいかどうか、まずは証明してみましょう。
これは簡単です。
$ a + b-2\sqrt{ ab } = (\sqrt{ a })^2 -2\sqrt{ a } \cdot \sqrt{ b } + (\sqrt{ b })^2 = (\sqrt{ a } - \sqrt{ b })^2 \geqq 0 $

これが書けるか否かは、等式の証明方法を知っているか否かが問われるところです。
等式の証明の仕方には下記の３つがありますよね。

・$ A = B $ の $ A $ (左辺) または $ B $ (右辺) を変形し、他方を導く。
・$ A = B $ の両辺を変形し $ A = C, B = C $ であることを導く。
・$ A - B = 0 $ であることを示す。

さて、ここで最初に戻って、下記の問題を一緒に考えてみましょう。

$ \displaystyle \frac{ 1 }{ a } $ を $ b $ とすると、問題の与式は下記のように変形できます。

$ a + b \geqq 2 $
上記の両辺を２で割ると…見えてきますよ。

$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq 1 $
$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ 1 } $
$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ a \cdot \displaystyle \frac{ 1 }{ a } } $
$ \displaystyle \frac{ a + b }{ 2 } \geqq \sqrt{ ab } $
 

これで相加平均と相乗平均の関係を利用する、と言う意味が分かりますよね。
 

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。