時空 解 さんの日記
2018
10月
13
(土)
09:45
マスペディア 154 - フェルマーの２平方定理…いろいろな呼び名もある面白い定理ですね
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マスペディア 1000
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
今日の朝、マスペディアの第154番目のトピックを読んで、久々に興味を持ちました。
フェルマーの２平方定理？…あまり聞いたことのない定理名ですが、フェルマーがこの定理を発見した、その切っ掛けが面白いですね。
その切っ掛けをマスペディア第154番目のトピックの冒頭から引用してみましょう。
フェルマーの２平方定理？…あまり聞いたことのない定理名ですが、フェルマーがこの定理を発見した、その切っ掛けが面白いですね。
その切っ掛けをマスペディア第154番目のトピックの冒頭から引用してみましょう。
２という例外を除いて、すべての素数は奇数だ。だから、４で割ると、すべての奇数の素数は１か３を剰余する。これによって奇数の素数は２種類にわけることができる。１７世紀、ピエール・ド・フェルマーはそれらの間の驚くべき違い気が付いた。
…(以下省略)
この冒頭の部分だけで興味が湧いてきますよね。
この２種類の素数の違いは、下記のように説明が載っています。
・$ 4n+1 $という形の素数は２個の平方数の和として書ける。その書き方は１通りしかない。
・$ 4n+3 $という形の素数は２個の平方数の和として表現することはできない。
この２種類の素数の違いは、下記のように説明が載っています。
・$ 4n+1 $という形の素数は２個の平方数の和として書ける。その書き方は１通りしかない。
・$ 4n+3 $という形の素数は２個の平方数の和として表現することはできない。
こんな違いが剰余の１と３の違いであるんですね。
「余りが１と３の２つあるぅ？…そう言われてみれば有るねぇ…でも、それがどうした？」
私なら、ただそれだけの印象で終わるところです。しかしフェルマーは違うんですね。
( まぁ自分をフェルマーと比較するのも おこがましいですよね、すみません。m( _ _ )m )
「余りが１と３の２つあるぅ？…そう言われてみれば有るねぇ…でも、それがどうした？」
私なら、ただそれだけの印象で終わるところです。しかしフェルマーは違うんですね。
( まぁ自分をフェルマーと比較するのも おこがましいですよね、すみません。m( _ _ )m )
この２種類の分類に気が付いて、それに違いが有るのか無いのか？…そんなことを考え始めるフェルマーはやっぱり凄いです。弁護士の仕事をしながら余興で数学をやっていたということですが、本当に弁護士の仕事をちゃんとやっていたんですかねぇ…数学をやる時間をどうやって確保していたのか…信じられない気もします。
とにかく、このフェルマーの２平方定理と言うのは、ウィキペディアによると色々な呼び名があって、明確な呼び名がないようですね。ウィキペディアが採用している呼び名は 二個の平方の和 と言う事になるでしょうか。
とにかく、このフェルマーの２平方定理と言うのは、ウィキペディアによると色々な呼び名があって、明確な呼び名がないようですね。ウィキペディアが採用している呼び名は 二個の平方の和 と言う事になるでしょうか。
他の呼び方としては、フェルマーのクリスマス定理 と呼ばれる事もあるそうです。その理由は１６４０年１２月２５日にマラン・メルセンヌに送った手紙のなかに初めて登場した定理だからなのだそうです。
日本ではこの呼び名が一番有名なのかも知れませんね。
日本ではこの呼び名が一番有名なのかも知れませんね。
さて、この定理から導き出される帰結にどんなものがあるのか、と言う点ですが、このトピック 154 の中にそれも載っています。
「数が２個の平方数の和として、($50 = 7^2+1^2 = 5^2+5^2$ のように) ２つの異なる方法で書けるならば、その数は素数ではない」
と言う事が言えるのだそうです。
"フェルマーのクリスマス定理" の証明は１７４９年にレオンハルト・オイラーが提示したそうです。
先ほどのウィキペディア 二個の平方の和 にも証明は載っているのですが…残念、私には理解できません。( X X;)
ここで解説できると良いんですけどね。
「数が２個の平方数の和として、($50 = 7^2+1^2 = 5^2+5^2$ のように) ２つの異なる方法で書けるならば、その数は素数ではない」
と言う事が言えるのだそうです。
"フェルマーのクリスマス定理" の証明は１７４９年にレオンハルト・オイラーが提示したそうです。
先ほどのウィキペディア 二個の平方の和 にも証明は載っているのですが…残念、私には理解できません。( X X;)
ここで解説できると良いんですけどね。
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