皆さん、おはようございます。時空 解です。 数学の命題を証明するために、間接証明法として、対偶を取ったり背理法を使ったりしますよね。 青チャート式数学の例題では「対偶による証明」とか「背理法で証明せよ」とか書かれているのでいいのですが、実際に物理数学の世界で何か命題が出てきたらどう対処すれば良いのかなぁなんて、ちょっと考えてしまいました。 命題を直接証明できそうにない時、果たしてどちらを使うか？　対偶？それとも背理法？ うーむ…　　　　おっと...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 数学の "命題と条件" と言う項目の学習をしていると、大抵が「対偶」と「背理法」とが一緒に解説されていますよね。 例えば「青チャート式数学I 第７節：命題と証明」では、基本事項と言うところに同じページに解説が載っています。ちゃんと読めば「逆・対偶・裏」と「背理法」とが別扱いで解説されていることが分かりますが…。 お恥ずかしい話「同じページで解説がされている」と言う印象が私には強くて...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 今日の今日まで勘違いをしていた日本文があります。下記の二つ、私は同じ意味かと思っていたんです。 ・「任意の $ x $ について $ p $」 ・「適当な $ x $ について $ p $」 でも「任意の」と「適当な」は違うんですね。 私は両方とも「複数の内の一つ」と言う感覚で使っていました。まぁこの感覚は間違いではないと思いますが…。 「任意の $ x $ について」と…任意...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 チャート式数学の集合の問題で、重要例題４８と言うのがあります。 この問題の難しいところは、どうやって証明すれば良いのか？　…これに尽きます。 この証明方法がとても重要なんですが、以前学習したはずなのにトント覚えていないんですよね。 きっと証明に利用している集合の基本事項を、私はなめていたのですね。 「こんなの基本事項として取り上げるまでもない」 なんて思っていたのです。 でもこの重...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 チャート式数学の問題を解いていて、載っている答を丸々そのまま暗唱するくらいに覚える・理解すると言うのはなかなかハードルが高いですよね。 高いと言うよりも、ほぼ不可能なように思います。きっとこれは過去に獲得してきた私の表現方法が邪魔をしているからでしょう。自分の言いたいことも盛り込みたい、と言う気持ちがあると余計なことを書いてしまったりします。 もし若いうちから「模範解答を丸々写したような回答」を目指して数学の学習をして...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 ブログを二の次にして、朝一番から数学の学習を始めて２日目です。 やっと重要例題１２７ができました。 重要例題１２７ 方程式 $ x^2 + (2-a)x +4 -2a=0 $ が $ -1 \lt x \lt 1 $ の範囲に少なくとも１つの実数解をもつような定数 $ a $ の値の範囲を求めよ。 いやあ～この問題は３つのステップがあります。 1. 実数解が２つある場合 2. 実数解が１つの場合 3. 実...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   チャート式数学をちゃんとした方法で学習し始めてからは、以前の学習方法が驚くほどいい加減だったことを思い知らされています。 ・【青チャート】数学チャート式の使い方【勉強法解説】例題だけ？エクササイズ？数強塾ふじわら塾長   例えば「絶対値記号を含む方程式」、例題番号で言うと例題３９から４２なんですが…。 ふじわら塾長のことを知る以前にも、一通り自分なりに問題を解いているはず (...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 今日の朝、数研出版さんの例題の動画を見付けました。   ・【期間限定公開】改訂版 チャート式 基礎からの数学I 解説動画   青チャート式数学Iに載っている重要例題２９について、もう少し解説が欲しいなぁと想い、今日の朝ネット上で解説しているサイトが転がっていないか検索してみたんですよね。 そうしたらありました。　　おおっ！ 数研出版さんの動画が期間限定で公開されているではありませんか...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   BM13901 と言うのを皆さんはご存知でしょうか？ ・[79._mathematical_text_bm_13901]   古バビロニア時代の粘土板なのですが、その中には２次方程式に関する解法が載っているのだそうです。 その例を一つ。  「正方形の面積から、その一辺を引いたら $ 870 $ であった。その正方形の一辺の長さを求めよ」 　　　---「天才数学者は...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   青チャート式数学Iを学習していて思い出しました。自分が高校の時にどうして数学の勉強をしなくなったのか？ それは、２次方程式の解と係数の関係。   これがどうにも腑に落ちなかったのが原因でしょう。数学が自分から遠のいたような、数学に自信がなくなったのは「対偶」のところだったんですけどね。これは高校の２年生の夏休み明けでした。でも、それよりも前に徐々に分らなくなっていたんでしょう。  ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   青チャート式数学の学習をしていて想うのですが、自分の身に付いている考え方・解法が使える問題は直ぐに解けます。でも、いまだ獲得できていない解法を使う問題に対しては、答えを見てもどうにも納得がいかないことが多いです。   なんか当たり前のこと、以前にも言っていたことをまた言い出していますが、歳をとると同じ話ばかりするように成ると言いますが、確かにそうかも知れません。ご勘弁を。   ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 やっと互除法の証明が納得できました。４月の１５日に理解したつもりだったんですけとね。 ・数学の "証明" って、何？ でも理解した証明を想い出して記述してみようと試みましたが、できず仕舞い…。 やっぱり自分の物にはなっていません。 どうして互除法の証明にこだわっているのかと申しますと、ガロアの群論を理解しようと思って読み始めた書籍：「ガロア理論の頂を踏む」の冒頭部分に、この互除...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   昨日は見付けられなかったのですが、今日の朝見付けました！　重要例題１７(2) の解法の動画です。   ・【高校数学】【数学偏差値80の青チャート解説】IA 重要例題17☆3 　因数分解のたすき掛けを使わない方法   この動画の 3:48 ～ に参考になる数式変形がありました。なるほど、この式変形がチャート式の解答にも載っていると分るのにねぇ…。  ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   表題にも書きました数式に、昨日は悩まされていました。 　　次の式を因数分解せよ。 　　(1) 省略 　　(2) $ a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) $   (2) は解答をみても納得できない…　   これが普通に出来る人って、やっぱり凄いなぁと想います。 一応、答えを右に示しておきますね。   この (2)...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   青のチャート式数学Iを学習しているのですが、絶対不等式の問題 (p181 基本例題１１３) のところで模範解答を読んでいる時にハタと気になりました。 「$ x^2 $ の係数が $ 1 $ で正であるから、常に不等式が成り立つための必要十分条件は…」 と言う言い回しです。   うーむ…必要十分条件。   ２次方程式の問題では、判別式を使って解く...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   ちかごろ数学の学習をしていて感じることですが、自分はあわてて数式を書くんです。 慌てて…と言うかいい加減に数字や文字を書いているんですよね。「ゆえに」、「よって」、「したがって」などの文字なんかは省略してしまいますしね。   とにかく「早く答えが出したい」みたいな感じて、ざつに数式や文字を書いてしまいます。 人が見ても分るように…なんて心掛けはどこにもありません...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   ２次方程式を解く時に当たり前のように因数分解を試みますよね。 でもこの因数分解…私は１変数の時にしかやってはいけないような印象を持っていました。   でも違うんですね。これは私の思い込み…。皆さんも同じような思い込みをしていませんか？ (青)チャートの数学Iの p158 に、そのよい例が出て来ます。   重要例題９９　２次方程式の共通解 ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   ２ヶ月前ほどのこと。２月２０日に２次方程式の解の公式の証明に付いて自分の考え方を書きました。 ・２次方程式の解の公式…平方完成の形から $ \sqrt{ 　 } $ を取る時、どうして絶対値記号を使わずに ± 記号なのかの解釈   この時には、まだ平方完成から解の公式を導き出すときに、どうして絶対値記号を使わないのか納得できなかったのですが…。 ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   今回はチャート式(青)数学Iの基本例題９１の (2) を学習していて想ったことを書きます。 問題 ２次関数のブラフが次の条件を満たすとき、その２次関数を求めよ。 (1) - 省略 - (2) 放物線 $ y = -2x^2 $ を平行移動した曲線で、２点 $ (-2,~0) $ 、 $ (3,~0) $ を通る。 上記は難易度数２の問題ですので、教科書の例題レベルなんですけどね。これを...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   中学生レベルの数学の問題って、殆どが答えだけ書けば良いですよね。高校生に進学したばかりの頃も、答だけを書けばすむ問題が多かったと思います。(1), (2), (3) …なんて分解されている問題は出題されるように成って来ましたけどね。 でも記述式問題問題なんてほとんどなかったように思っていました。   実際にはどうだったのでしょうかね？ 私は記述式問題に答えるための練習をし...