皆さん、おはようございます。時空 解です。   昨日は予定通り台風２２号の雨の中、無事に (？) 数学検定の２級を受けてまいりました。   さんざんでした。   まず衝撃的だったのが…受検証を忘れた事です。   こんなこと学生時代でもやったことがありません。大失敗です。忘れてしまった理由は、出掛ける前に持って行くカバンを変更したからです。変更前のカバンの中に、受検証をそのまま置き忘れてしまっ...

みなさん、こんにちは。 数の体系の中の実数に付いてみていたところ、驚いた事がありました。ニュートンやライプニッツが微積分学を創始した事は知っていたのですが、まだその時代（十七世紀）には実数と言う数字が明確な形で定義されていたわけではなかったのです。これは意外でした。 Wikipedia によれば、カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラスが代表する、イプシロン-デルタ（ε-δ）論法が確立されて（十九世紀）始めて実数と言う数字の連続性が確立...

みなさん、こんにちは。 さて、今日は数字の復習をちょっとしてみます。中学、高校時代に自然数や整数、有理数など、いろいろな数字の枠組みを覚えたものですが、私も今は五十五歳です。ちょっと不確かになっていますので、改めて整理してみようと思いました。それで調べてみた数字が次の七つです。いずれも wikipedia からの引用です。 自然数： 1, 2, 3,  …とする流儀（日本における初等中等教育では「自然数は 1 から始まる」と指導される）と 0...

みなさん、こんにちは。 先日まで自然数に付いてみてきましたが、今日はその次の数字、整数に付いてみてみました。現在の数学の教育を受けた私たちに取っては負数（-1,-2,-3,…）は何に違和感もないのですが、昔の人に取っては実在の物として受け入れられていなかったようです。 Wikipedia の記述は下記の通りです。 ペルシアの数学者アブル・ワファー (940 - 998) は負数同士の積が正数であることを記しているが、しかし依然として数は何らかの物理的な...

みなさん、こんにちは。 昨日は整数に付いてみてみましたので、今日は数の体系の内の有理数に付いて、Wikipedia で見てみました。そしたら、学生時代にとても興味を抱いた問題点に触れている部分がありましたので、ここに引用してみたいと思います。 Wikipedia より 有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる（もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の...

みなさん、こんにちは。 ７月１６日に数字の体系に付いてちょっと触れましたが、今日は自然数に付いて少し掘り下げてみました。 まずは Wikipedia に載っている自然数の説明に、ゼロ（０）の扱いに対する興味深い記述があります。 0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。 と言う記述です。 学生時代には、ゼロ（０）は自然数には含まない、と教えられたものです。確かテストの問題にも「ゼロは自然数に含まれるか？」と言った問いが出されていた記...

みなさん、こんにちは。 今日も数の体系から、引き続き自然数に付いて見てみたいと思います。 昨日のブログにも書きましたが、ユークリッドの原論による自然数の定義として、単位（１）と言うものを先に示し、数とはその単位からなる多である、としています。定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できるそうです。 この定義をみて思った事ですが、数と言うものは対象物がちゃんとありますよ、とユークリッドは言っているように思えてなりません。つまり単位と言う物を先に設定して、その上で数...

みなさん、こんにちは。 今日も数の体系から、自然数の定義として良く知られている、ペアノの公理に付いて感じたことを書いてみたいと思います。Wikipedia にも記載されているのですが、「自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない」と書かれています。ところがペアノの公理に目を通してから改めて考えてみると、本当に人は何を持って、「自分は理解できた」と実感しているのでしょうか？そんな疑問が、私の頭には湧いてしまいます。 Wikipedia より...

皆さん こんにちは、時空 解です。 久々に初見にて、青チャート式数学の問題が解けたのですが… うーむ… どうにも出てきた答えが変な数値だったんでスッキリしません。   「青チャート式数学II」基本例題２５４ (改訂版２４３) 放物線 $ y = -x(x-2) $ と $ x $ 軸で囲まれた図形の面積が、 直線 $ y = ax $ によって２等分されるとき、定数 $ a $ の値を求めよ。 ただし、$ ...

皆さん こんにちは、時空 解です。 今日は下記の問題に取り組んでいました。 「青チャート式数学Ｂ」第１章：数列の第３節　基本例題２４ 初項から第 $ n $ 項までの和 $ S_n $ が $ S_n = 2n^2 -n $ となる数列 $ \{a_n\} $ について 　(1) 一般項 $ a_n $ を求めよ。　　　(2) 和 $ a_1 + a_3 + a_5 + $……$ + a_{2n-1} $ を求めよ。 ...

皆さん こんにちは、時空 解です。 今日から「新課程 青チャート数学Ｂ」に進んでいます。 この新課程の数学Ｂの第１章は "数列" なんですが… 基本例題の１から早くも四苦八苦しています。( ^^; それよりもなによりも、まずは【基本事項】で、早くも驚きました。 ・等差中項 ・調和数列 こんな単語、自分が高校生だった時に使われてたかなぁ…？ なんてね。 特に "調和数列" ...

皆さんこんにちは、時空 解です。 ３日前のことになりますが、下記のブログを投稿したのを覚えて頂いているでしょうか？ ・とてもじゃないが、めんどくさい！　こんなのを真面目にやる人がいるのかなぁ…と思うこと自体、暗算力がない私 このブログの内容は、前半は「場合の数」の学習を怠ってしまっていることが書いてありますが、後半は「数列」について書きました。 自分がどうして数列の学習が出来ないのか？…その理由がなんとなく書かれているのですが&he...

皆さん こんにちは、時空 解です。 今日やっと自分がどこを間違えて考えていたのかが分かりました。 分かってしまえば簡単で、こんなことでハマっている自分は 「自分で自分の首を絞めてただけだなぁ」 と思うばかり… 改めてハマっていた問題を下記に示します。 「青チャート式数学Ｂ」第１章 数列 ３節 種々な数列　より   基本例題２９　群数列の基本 奇数の数列を $ 1 | 3,~5 | 7,~9,~11 | 13,~ 15,...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   漸化式を理解するには、その前段階、階差数列をキチンと理解していないと無理なんですね。 この数週間のあいだ数列の学習をしていて感じたことです。   学生時代は、キチンと数字を書き並べて元の項数と階差数列の項数の関係を整理しなかった私です。参考書の解説などを見ると、パッと分かった気分にはなれましたからね。それで良しとしていたのです。 でも、いざ問題を解く段階になると…あれっ？項数...

皆さん こんにちは、時空 解です。 パッと解法が閃かないとつまらない…と思っていた私ですが。 でも数列の問題を解いていて、積み重ねで答えを出して行くのも楽しいかも… なんてね。 おっと！ なんだか大それたことを書いてしまいましたが…すみません。 でも今日の朝、数列の問題を解いていて感じたことです。 いやはや、数列に苦手意識が芽生えてからと言うもの、まともに問題を解こうとてなかったんです。 なんだか避...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   自分が高校生だった頃に数列の初項をなんと呼んでいたのか思い出してみると、どうしても $ a_0 $ と習った記憶があります。 「いいか！初項は $ a_1 $ じゃなくて$ a_0 $ だよ」 と、当時の数学の先生 ( 担任でもありました ) が黒板をチョークでトントンと叩いている姿さえも思い出すんです。 でも今の数学の参考書を見ると、初項は $ a_1 $ 。 これにはどうしても違和感を感じてしま...

皆さんこんにちは、時空 解です。 ひとまず、明日からまた日常に戻ります。 いや、再雇用して頂いたので、戻れると言っていいでしょう。 まだまだ心配事は残っていますが、ひとまず区切りはつきそうです。 と言う事で、明日からはまた朝に数学の学習とブログの投稿。 そして夜は数列・漸化式の学習とYouTubeチャンネル用の動画を少しづつ撮って行く…なんて言うような予定を立てているのですが…。 うーむ… やっぱり時間が...

皆さん こんにちは、時空 解です。 数列の学習に進んで思ったことは、表題にも書いた通り、数列は数列の知識のみならず他の知識も必要だと言うことです。 何を言いたいのかと申しますと、まずは具体例を出してみましょう。 「新課程 青チャート式数学II」第１章 数列 等差数列 重要例題１０ 等差数列 $ \left \{ a_n \right \} $、$ \left \{ b_n \right \} $ の一般項がそれぞれ $ a_n = 3n+1 $、$ b...

皆さんこんにちは、時空 解です。 今年ももう気が付けば１０月も終わりに近付いていますね。…はやいものです。 今日は朝から数学の学習の振り返りをしていたのですが…今年に入って学習した数学の内容… あまり覚えがありませんね。…＿|￣|○ 「えっ！　こんな問題を解いたっけ…」 と言うような問題が多々あります。 まぁ年齢のせいだと言えば、それですべて説明が出来てしまうかも知れませ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   昨日から数学の学習は 青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の第３章にあたる "図形の性質" に入りました。 ここは学習したと思い込んでいたのですけどね…。どうも勘違いのようです。 復習のつもりでページを開いて読んでみたら、ガガーン！　学習してなかった事が分りました。 と言うのも、最初の p400, p401 に "平面図形の基本"...