時空 解 さんの日記
2019
3月
12
(火)
09:13
前の日記
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
この２、３日の間、青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」p322 の Exercises 14 で悩んでいました。
この手の問題がスイスイとけるようになると、本当に数学が分ってきた、と言う気分になれるのですけどね。
どうもそうは行きません。
どうもそうは行きません。
p322 の Exercises 14 の問題を下記に示します。
$ n $ 桁の自然数について数字 1 を奇数個含むものの個数を $ f(n) $ とする。ただし、$ n $ は自然数とする。
(1) $ f(2), f(3) $ を求めよ。
(2) $ f(n+1)=8f(n)+9 \cdot 10^{10-1} $ が成り立つことを示せ。
上記の問題に対して、私は (1) の問題の $ f(2) $ と $ f(3) $ を書き並べて、その法則性を見出そうとしたのですが…
ハマってしまったのは $ f(3) $ の中に出てくる数字 111 に付いてです。
これは $ f(2) $ と $ f(3) $ の関係からでは見通しが付きません。$ f(1) $ についても書き上げなくては辻褄が合わないのですよね。
つまり $ f(2) $ → $ f(3) $ と関係性を考えるのではなく、ちゃんと $ f(1) $ → $ f(2) $ → $ f(3) $ と積み重ねて考えないとダメです。
ハマってしまったのは $ f(3) $ の中に出てくる数字 111 に付いてです。
これは $ f(2) $ と $ f(3) $ の関係からでは見通しが付きません。$ f(1) $ についても書き上げなくては辻褄が合わないのですよね。
つまり $ f(2) $ → $ f(3) $ と関係性を考えるのではなく、ちゃんと $ f(1) $ → $ f(2) $ → $ f(3) $ と積み重ねて考えないとダメです。
まぁそれが分ったところで、難しい点は他にもありますけどね。
私に取っては…
私に取っては…
この問題の (2) のヒントにはこう書かれています。
数え上げてもよいが、例えば、$ f(2) $ については、1 桁の自然数にどのような数を付け加えればよいか、ということを考えるとよい。
このヒントの意味に付いては、その具体的な考え方が解答で示されます。
$ n+1 $ 桁の自然数で数字 1 を奇数個含むものは、次のようにして作る事ができる。
[1] $ n $ 桁の自然数で 1 を奇数個含むものの後に、0 または 2 ～ 9 を付け加える。
[2] $ n $ 桁の自然数で 1 を偶数個含むものの後に、1 を付け加える。
ここまでの解説で、問題文の数式 $ f(n+1)=8f(n)+9 \cdot 10^{10-1} $ にたどり着くためのおおもとの式、$ (10^n -1) - 10^{n-1} +1 $ が立てられるようになればいいのですが…なかなかそれが出来ませんでした…これを理解するのに時間が掛かったのです。と、言うよりも諦めの気分が先に立ってしまう…と言った感じですかね…。この精神状態を改善しないとね。
では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。
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