50代から理数を学ぶ - マスペディア 186～188 - 平行線公準とピタゴラスの定理が理論的に同等？

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時空解さんの日記

2019

5月 14

(火)

09:32

マスペディア 186～188 - 平行線公準とピタゴラスの定理が理論的に同等？

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カテゴリーマスペディア 1000

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

今日はマスペディアのトピック１８６番目から１８８番目についてブログに書いてみたいと思います。
この分部の話題の中心はユークリッドの『原論』の第I巻の中の "第I巻定義・公準・公理・命題目次" の中に出てくる "公準" についてです。

公準は５つあるんですね。
そのうちの１から４番目までの公準はとてもシンプルですが、第５公準はややこしいのです。ここで、マスペディアトピック１８６番目に掲載されている公準を示してみましょう。

I. 任意の２点は、線分で結ぶことができる。
II. 任意の線分は、両端を無限に延ばすことができる。
III. 任意の点を中心として、任意の半径で円を描くことができる。
IV. 直角は非常に等しい。
V. ２本の直線がもう１本の直線と交わっていて、片側の内角の和が２直角未満 ($ x + y \lt 180 \tcdegree $) ならば、２本の直線を無限に延長したとき、どこかで交わる。

こうして並べてみると、確かに第５公準だけが長ったらしい表記であることが分かります。マスペディアも「ユークリッド自身もこの公準は冗長で満足していなかったようだ」と書いています。

この公準はのちに平行線公準として、何世紀にも渡りヨーロッパやイスラムの数学者たちの間で議論が戦わされたのだそうです。

その焦点は
・ユークリッドの公準の始めの４つから、この５番目の公準を導きだせないだろうか？
と言う点です。

この結論として、平行線公準は、他の４つの公準とは独立であることが示されたのだそうです。
さて、ここからが問題です。

平行線公準が独立である証拠として１つ、平行線公準とピタゴラスの定理が理論的に同等であることも示させているようですね。

これにはビックリです！

知らなかった。本当かなぁ…

と、ちょっと疑ったのですが、Wikipedia の平行線公準の中にも上記のことを匂わす記述がちゃんとでていました。
"論理的に同値な性質" のところの 11 番目が、確かにピタゴラスの定理です。

うーむ…　

ユークリッドの幾何学なんてお馴染みのことなんで、目新しい話題なんて期待していませんでしたけどね。こうして読んでみるといろいろと知らなかったことを知らされます。自分の不勉強さを知った次第です。

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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