時空 解 さんの日記
2019
6月
25
(火)
09:40
前の日記
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皆さん、おはようございます。時空 解です。
昨日は白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p423, 階差数列の Exercises をやっていました。Ex-193 を解くのに５０分以上掛かってしまいました。
うーむ、混乱しました…
どこが混乱したのかと言いますと、例えば下記の問題を例に取ると
p423 Ex-193 次の数列の一般項を求めよ。
(3) 5, 7, 11, 19, 35, …
(3) 5, 7, 11, 19, 35, …
上記、問題 (3) の数列の階差数列を調べると下記のようになります。
5 7 11 19 35 …
2 4 8 16 …
ここまでは簡単に分かりますよね。与えられた数列の 7 から 5 を引くと下段に書いてある 2 が出ます。次は 11 から 7 を引くと 4 ですよね。
こんな具合に下段に書かれている数列 ( 階差数列 ) は書き出せます。
5 7 11 19 35 …
2 4 8 16 …
ここまでは簡単に分かりますよね。与えられた数列の 7 から 5 を引くと下段に書いてある 2 が出ます。次は 11 から 7 を引くと 4 ですよね。
こんな具合に下段に書かれている数列 ( 階差数列 ) は書き出せます。
一般に与えられた数列を $ \{ a_n \} $ 、 階差数列を $ \{ b_n \} $ と表記しますので、上記は
$ \{ a_n \} = $ 5 7 11 19 35 …
$ \{ b_n \} = $ 2 4 8 16 …
と表現できます。
$ \{ a_n \} = $ 5 7 11 19 35 …
$ \{ b_n \} = $ 2 4 8 16 …
と表現できます。
さて、ここからが難しくなってきます…。まずは $ \{ b_n \} $ がどんな数列なのかは皆さん、お分かりですよね。
これは 初項 $ 2 $ 、公比 $ 2 $ の等比数列です。ですから $ \{ b_n \} $ の一般項は
$ \{ b_n \} = 2 \cdot 2^{n-1} $
ですよね。ここまでは難しくはありません。強いて言えばどうして $ 2^n $ ではなくて $ 2^{n-1} $ になるのか？と言うところが少々面倒なところです。でも、これは数列の考え方として、まずは初項と公比を分けて考えるからですよね。例えば初項が $ b $ で公比が $ r $ の場合、
初項は$ n = 1 $ ですから
$ b_1 = b \cdot r^{1-1} $
としないと初項が $ b $ になりません。
$ b_1 = b \cdot r^{1} $
とすると初項が $ b \cdot r $ になってしまいます。
これは 初項 $ 2 $ 、公比 $ 2 $ の等比数列です。ですから $ \{ b_n \} $ の一般項は
$ \{ b_n \} = 2 \cdot 2^{n-1} $
ですよね。ここまでは難しくはありません。強いて言えばどうして $ 2^n $ ではなくて $ 2^{n-1} $ になるのか？と言うところが少々面倒なところです。でも、これは数列の考え方として、まずは初項と公比を分けて考えるからですよね。例えば初項が $ b $ で公比が $ r $ の場合、
初項は$ n = 1 $ ですから
$ b_1 = b \cdot r^{1-1} $
としないと初項が $ b $ になりません。
$ b_1 = b \cdot r^{1} $
とすると初項が $ b \cdot r $ になってしまいます。
実はこの点が、私に取って混乱をしてしまう要因なんです。
どのように混乱するのかと言いますと、与えられた問題の $ \{ b_n \} $ の一般項の式はもう少し簡単にすることが出来てしまいますよね。
$ \{ b_n \} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $
これは初項と公比がたまたま同じ数字なので出来てしまうことですが、そうすると項数 $ n $ の扱いに不安がよぎるのです。
こんな不安がよぎるのは私だけでしょうかね？
とにかく私が高校時代から数列が苦手なのは、この項数が混乱するところにあります。
$ \{ b_n \} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $
これは初項と公比がたまたま同じ数字なので出来てしまうことですが、そうすると項数 $ n $ の扱いに不安がよぎるのです。
こんな不安がよぎるのは私だけでしょうかね？
とにかく私が高校時代から数列が苦手なのは、この項数が混乱するところにあります。
これに続いて、階差数列を扱う段階になると $ \{ a_n \} $ の第２項を求めるためには階差数列 $ \{ b_n \} $ の第１項目を $ \{ a_n \} $ の１項目に足すんですよね。 $ \{ a_n \} $ と $ \{ b_n \} $ の項数は出だしが１つズレているので $ \{ b_n \} $ の最後が $ n -1 $ です。ですから階差数列の和の公式には
$ n \geqq 2 $ のとき $ a_n = a_1 + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ {\color[RGB]{255,00,00} n-1} } b_k $
と、$ n-1 $ になるわけですが…
でも今回はたまたま初項と公比が一緒だから、１個ずらすのかなぁ…？？？でも階差数列も１個ずれてるから…
$ n \geqq 2 $ のとき $ a_n = a_1 + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ {\color[RGB]{255,00,00} n-1} } b_k $
と、$ n-1 $ になるわけですが…
でも今回はたまたま初項と公比が一緒だから、１個ずらすのかなぁ…？？？でも階差数列も１個ずれてるから…
なんて混乱するのです。
そんなこんなで昨日はたかが４つの階差数列問題を解くのに５０分もかかってしまいました。
一応答えは出せるようにはなりましたが…まだまだ不安です。ここで不安を解消する明快な解説ができると良いのですけどね。すみません、それはまたいずれと言う事で… m( _ _ )m
一応答えは出せるようにはなりましたが…まだまだ不安です。ここで不安を解消する明快な解説ができると良いのですけどね。すみません、それはまたいずれと言う事で… m( _ _ )m
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では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。
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