時空 解 さんの日記
2019
7月
5
(金)
09:33
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
昨日は白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p429 ex-206 をやっていて目からウロコが落ちました。
この問題、頭の中が整理されます。
この問題、頭の中が整理されます。
ここで問題文を示してみます。
白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」p429 ex-206
$ a_1=2,~a_{n+1}=3a_n+4 $ によって定まる数列 $ \{a_n\} $ がある。
(1) 数列 $ \{a_n\} $ の階差数列を $ \{b_n\} $ とするとき、$ b_{n+1} $ を $ b_n $ を用いて表せ。
(2) (1) を利用して、数列 $ \{a_n \} $ の一般項を求めよ。
これ、 $ \{b_n\} $ を階差数列とする、と言う指定があるから面白いですよね。
(2) で $ \{a_n \} $ の一般項を問われますが、今までのように単純に$ a_{n+1}=3a_n+4 $ の漸化式を $ a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2) $ と変形して $ a_n + 2 = b_n $ とやると違ってきます。これでは $ \{b_n\} $ を階差数列扱いしてないのですからね。初項にも注意が必要です。
私にとってこの問題は $ \{b_n\} $ を階差数列とするかしないかの違いがどんな事かを問われる問題でした。
$ b_n $ を階差数列とするならば、$ b_n $ の一般項は下記の二つの式 ( A, B ) を立てて、B から A を引いたものです。
$ a_{n+1}=3a_n+4 $ …A
$ a_{n+2}=3a_{n+1}+4 $ …B
$ a_{n+2}=3a_{n+1}+4 $ …B
B - A は $ a_{n+2} - a_{n+1} = 3(a_{n+1} - a_{n}) $ となります。これは $ \{a_n\} $ の階差数列を $ \{b_n\} $ とするのだから $ b_{n+1} = 3b_n $ なんですよね。
$ b_n = a_{n+1} - a_{n} $ 。初項は $ b_1 = a_2 - a_1 $ ですから 8 となります。
$ b_n = a_{n+1} - a_{n} $ 。初項は $ b_1 = a_2 - a_1 $ ですから 8 となります。
でも、階差数列としないのならば、
$ b_n = a_n + 2 $ 。初項は $ b_1 = a_1 +2 $ ですから 4 なんですよね。
$ b_n = a_n + 2 $ 。初項は $ b_1 = a_1 +2 $ ですから 4 なんですよね。
この問題を解いていて、初項の違いに驚いた次第です。今日の夜、もう一度解く必要を感じる問題でした。
参考書の答えも参考に下記に載せておきますね。
参考書の答えも参考に下記に載せておきますね。
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