50代から理数を学ぶ - 高次方程式の計算テクニック。これって本質的にはどうかな？

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時空解さんの日記

2019

7月 29

(月)

09:46

高次方程式の計算テクニック。これって本質的にはどうかな？

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カテゴリー数学

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皆さん、おはようございます。時空解です。

今日も国府のお祭りですが、ちょっと数学の話題を一つ。
白チャート「新課程チャート式基礎と演習数学 II+B」p79 に載っている EXERCIES にこんな方程式があります。

　$ x^4 + 5x^2 + 9 = 0 $

問題は上記の方程式を解けと言うものですが、つまりは因数分解をすればよいのです。
でも、この方程式の因数分解はちょっとしたテクニックが必要です。与えられている方程式は４次ですが、まずは２次として因数分解することを考えます。

　$ x^2 = q $ とでも置きましょう。そうすると与式は

　$ q^2 + 5q + 9 = 0 $

と言う２次方程式として扱えます。
ここまでは良いのですが、ここからが問題。この２次方程式の $ q $ を解の公式で解いてしまうと、複素数解が出て来てしまいます。$ x $ の解を求めるためには、この複素数解のさらに２乗根を求めることになります。ここで行き詰まります。

この問題は別の方法、あるテクニックを使って因数分解をするんですよね。
それが下記の通り。

　$ q^2 + 5q + 9 $
　$ = q^2 +6q + 9 -q $

上記のように $ 5q $ を $ 6q -q $ に分解するのです。そうすると

　$ (q + 3)^2 - q $

と変形できますので、 $ q $ を $ x^2 $ に戻してやると

　$ (q + 3)^2 - q = (x^2 + 3)^2 - x^2 = \{ (x^2 + 3) + x \} \{ (x^2 + 3) - x \} $

と変形できますので、最終的に下記の等式が得られます。

　$ ( x^2 + x +3 )( x^2 -x + 3 ) = 0 $

これで後は解の公式を使えば $ x $ が求められますよね。

さて、こんな風に与えられた式を変形すれば $ x $ が求められますが、この式の変形ってどんな意味があるのでしょうかね？
昨日はそんなことをちょっと考えました。

　$ q^2 + 5q + 9 $
　$ = q^2 +6q + 9 -q $

この式変形は自然界の何かと一致しているのでしょうか？
例えば、ニュートンの考えた流率法と言うのは微分法のことで、速度と加速度と言う関係があります。自然界の法則と深い関係がある訳です。

これと同じように $ 5q $ を $ 6q -q $ に分解して $ x $ を求めることが出来るって、自然界の何かの法則を示唆するものなのでしょうか？
ただ単純に解法のテクニックであるならば面白いとは言えませんよね。まぁ高次方程式を解く事ができるのですからそれなりに意味はあるのでしょうが、それだけだとするとね、つまらないです。
何かの自然法則を示唆するものだとしたら面白いですが…うーむ…そんなことを期待する私が間違っているのでしょうか？

この式変形と関連のある自然法則を見付けたあかつきには、このブログで紹介したいところです。
でも残念ながら、今のところ自然界との関係は見出せません…残念です。

こんなこと考えるから数学の学習が滞るんですけどね、でも、好きなんですよね、こう言うことを考えている時が。

では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。

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