p71 の 応用問題１
$ \triangle ABC $ について、$ AB = 3 $ , $ AC = 5 $ , $ \angle A = 120^\circ $ のとき、$ \angle A $ の二等分線と辺 $ BC $ の交点を $ D $ として、次の問いに答えなさい。
(1) 線分 $ AD $ の長さを求めなさい。
(2) 線分 $ BD $ の長さを求めなさい。

この問題の (1) は３角形の面積 $ \triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD $ を利用すれば解けます。


全体の３角形 $ \triangle ABC $ の高さ $ h $ は $ h = 3 \cdot \sin 120^\circ $ ですよね。ですから底辺が $ 5 $ ですから面積は求まります。
$ \triangle ABD $ と $ \triangle ACD $ も同じように面積を求める式を立てて、$ AD $ に付いて $ \triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD $ を解けばよいです。

でもこの問題って、３角形の面積ではなくて線分の合計でも解けると考えたりもしませんか？

$ BC = BD + DC $ ですよね。

ですから、余弦定理でそれぞれ $ BC $ と $ BD $、$ DC $ の線分を求める式を書いてやって、$ AD $ を解いてやればいいと想ったのですが…。

ハマりました。どうしてもこの計算だと正しい答えが出て来ません。

間違いに気が付くのに時間が掛かりました。

皆さんは直ぐに分かったと思いますが、余弦定理を使うと線分の長さは２乗なんですよね。ですから私は
$ BC^2 = BD^2 + DC^2 $
をやっていた事になります。

$ a^2 + b^2 $ と $ (a + b)^2 $ は同じではありません。
これになかなか気が付きませんでした。

初めに３角形の線分の合計を考えていたので、つい余弦定理に出てくる線分の長さは２乗の値であることを見落としていたんです。

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