50代から理数を学ぶ - $ 1 + 1 = 2 $ の証明…

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時空解さんの日記

[2019-10-24]

2019

10月 24

(木)

09:12

$ 1 + 1 = 2 $ の証明…

カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

今日は $ 1 + 1 = 2 $ に付いての証明をスマートに行っている動画を見つけましたのでご紹介いたします。
・1+1=2の証明が難しいって本当？(ペアノの公理)

この動画は 2019/07/17 に投稿された動画のようですが、現時点で既に 488,952 回の視聴数を示しています。拝聴させて頂いて、個人的に初めてペアノの公理 ( 自然数の定義 ) のカラクリがピンときました。２０１５年の７月２１日の時点ではピンと来なかった私なんですけどね。
・数の体系、自然数に付いてのペアノの公理を見て想う事。

ご紹介した動画を視聴して頂ければこのペアノの公理をどう利用して $ 1 + 1 = 2 $ を証明しようとするのかが具体的に見て取れます。
公理は公理だけ見せられても難いものです。しかし公理を利用して具体例を挙げて貰えると、分かり易くなりますね。
$ 1 + 1 = 2 $ はそのよい実例と言えるかもしれません。

しかし完全に $ 1 + 1 = 2 $ を理解できたわけでもありません。動画の最後の方、16:00 ～　から少しスッキリしない部分もあります。
特に下から３行目の数式がねぇ…

< $ 1 + 1 = 2 $ の証明 >
$ suc(0) =: 1,~suc(suc(0)) =: 2 $
と定義する。
ここで加法の定義において
$ a = suc(0),~b = 0 $ とすると
$ suc(0) + suc(0) = suc( suc(0) + 0) $　　　　…( これがピンとこない )
　　　　　　　　 $ = suc(suc(0)) $
$ \therefore ~ 1 + 1 = 2 $

もちろん数式の意味は動画中で説明されています。上記の証明解説に入る前に加法の定義に付いての解説もありまして、そこで $ a + suc(b) = suc(a+b) $ と言う定義式が出て来ていました。ですから下から３行目の部分は $ 1 + 1 = 2 $ を加法の定義式の形に持って行くためのものでしょうけど。

ですがちょっと腑に落ちません。それが残念です。

少しくらいは個人で数学基礎論を学ばないとダメなようですね…
それともこれが先人が築き上げた "理解すると言う事の形式 " なんでしょうかねぇ…　

まぁそんなことはさておき…　

本気で $ 1 + 1 = 2 $ を証明をしようとすると実は大変なんだそうで…プリンキピア・マテマティカに証明が記載されているようですが、高名な２人の論理学者、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルを持ってしてもね…

なんと！　∑ヾ(￣0￣;ﾉｵｰｯﾄ!
700ページあまり！

下記のウィキペディアのページを参照してみて下さいね。
・$ 1 + 1 $ 数学基礎論

ともかくご紹介した動画では自然数の定義 ( ペアノの公理 ) とそれから足し算の定義、その２つを押さえています。
このアプローチがシッカリしています。感心いたしました。「ジョン・フォン・ノイマンの構成法」と言うのも面白そうですよ。一度ネットで検索してみて下さい。
( これに深入りするのは、今回は止めました…また何かの機会にでも… )

本気で $ 1 + 1 = 2 $ を証明・理解されたい方にはやはりプリンキピア・マテマティカをお勧めします。
私もいつかこの書籍が読みこなせるよう、これからもこつこつと数学の学習を続けたいものです。

では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。

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