50代から理数を学ぶ - 整式の割り算、簡単だと思いきや、勘違いしてしまった「商」と「余り」の関係

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時空解さんの日記

[2019-12]

2019

12月 2

(月)

09:22

整式の割り算、簡単だと思いきや、勘違いしてしまった「商」と「余り」の関係

カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日は割り算に付いていろいろと考えさせられていました。割り算と言うと、一般的には分数表記で済ませてしまう事も多いですよね。
ですから「余り」と言うものを扱う機会は少ないのかも知れません。

もちろん mod (モジュロ) と言う記号もあるくらい「余り」を扱う事に特化した演算もあります。このモジュロ、私にはなかなかチンプンカンプンなんです。その理由が昨日見えてきたんです。

「余り」と言うものがどんなものか、よくわかっていなかったのです。

下記の問題をちょっと見てみてください。
・ある整数を $ 3 $ で割ると商が $ 3 $ で、余りが $ 1 $ でした。ある整数を求めなさい。

この問題の答えは簡単ですよね。$ 10 $ です。
でもこの問題を求めるための "式" をちゃんと書き出してみると、意外に戸惑ったりしませんかね…？

…　

実は私、間違えちゃったんです。
求める整数を $ x $ として、こんな式を立ててしまいました。

$ \displaystyle \frac{ x }{ 3 } = 3 + 1 $

問題の文面どおりに記述して行くと、上記のように求める式を書きたくなりませんか？
でも単純な割り算ですから、上記の式は直ぐに間違いだと気がつくでしょう。
本当ならば下記のように書かなくてはいけません。

$ \displaystyle \frac{ x }{ 3 } = 3 + \displaystyle \frac{ 1 }{ 3 } $

私が間違いに気が付けなかったのは、下記の問題を解いている時です。数学II、例題９。

この (1) を解くために、問題の文面通りに $ A $ を求める式を立ててしまったんです。

$ \displaystyle \frac{ A }{ 2x^2 - x - 1 } = (4x + 5) + (-2x +1) $

この式を立てて実際に計算を行ってしまったので $ A $ が答とは違った整式になってしまいました。

皆さんはこんな勘違いはしませんかね？

どうにも間違った理由がわからない時には、以前、会員の方に
「単純な形に直す」
と言うことを教わったので、昨日は勘違いの原因に気づく事ができました。

でも、なかなか気が付けないものですよね。
以前の私なら投げ出してしまうところです…。

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