皆さん、おはようございます。時空 解です。

$ \sqrt{ 7 } $ が無理数であることを証明する問題があるのですが、これは背理法を使った証明問題として有名なんだそうです。
証明のポイントとしては $ \sqrt{ 7 } = \displaystyle \frac{ a }{ b } $ とおいて、$ a $ と $ b $ とが互いに素 (既約分数) であることを利用することと、自然数 $ n $ を $ n^2 $ した値が $ 7 $ の倍数ならば $ n $ も $ 7 $ の倍数であることを利用することです。

つまり　$ \displaystyle \frac{ a }{ b } $ の $ a $ と $ b $ が互いに素であるのに、約数 $ 7 $ が存在することを示して矛盾を導くのです。

参考になる動画を下に示します。
・基本例題５９　$ \sqrt{7} $ が無理数であることの証明

上記の動画の中に解説文が映し出されているのですが、その６行目の
「ゆえに、$ c $ を自然数として、$ a = 7c $ と表される。」
と言うところがねぇ…。　　とても納得が行かなかったのです。

ですからどのような言い回しで、この６行目を解説しているのかが知りたかったのです。

でもね、するっと読んだだけでした。

個人的には $ c $ が自然数になるのかがとても疑問でした。実数ならば何に問題もないのですけどね。

実は $ n^2 $ が $ 7 $ の倍数ならば $ n $ も $ 7 $ の倍数であることを証明するには基本例題５６と同じ証明法 (対偶を利用する) を使えばいいのです。
このことは青チャート式数学Iの基本例題５９が載っているページの「検討」のところにも明記されています。

背理法と対偶の両方利用して行う証明…どうにも自分には消化不良です。腑に落ちない証明です。
ちょっと理解するのに時間が掛かりそうです。

では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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