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Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学  >  漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました

時空 解 さんの日記

 
2021
3月 22
(月)
09:45
漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

青チャート式数学Bでは、漸化式を4つのパターンに分類してあります。その4つと言うのは
・等差数列型
・等比数列型
・階差数列型

そして、表題にも示した
・$ a_{n+1} = pa_n + q $ 型

上記4つです。

この4つのうち、最後まで理解出来なかったのが最後の $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型です。
この漸化式を攻略するために、青チャート式数学Bでは "特性方程式" なる名を冠した式を使って、初項と公比を求めます。

この特性方程式が私に取っては意味不明だったんです。
特性方程式:$ \alpha = p \alpha + q $

「??うーむ?    $ a_{n+1} $ と $ a_n $ を同じ記号 $ \alpha $ に置きかえてしまって大丈夫か?」

不自然さを払拭できないままでは、どうにも初項と公比を求める算術を行う気に成れなかったんです。
例えば青チャート式数学Bの基本例題116には、とてもよい解説が示されていると思われるんですけどね。どうにも取っつき難い…

( ああ…数学の神様… ううっ わがままな私をお許し下さい… )

ここで青チャート式数学B、基本例題116を示します。
ここの解説をなかなか集中して考えらないんですが、特性方程式の意味について知る為に色々とネット検索したらいいサイトが見つかりました。

特性方程式とは。より難しい漸化式の解き方【特殊解型】

おおーっ、上記のサイトの解説でピンときました。こんにちは
無精な私でも目で追って行くと…「おおっ!」と、納得が出来る画像的解説が目に入ります…

本来なら青チャート式数学Bの解説と基本例題とで、特性方程式の発想を理解できないのが情けないのですけどね…。

特性方程式なるテクニックを思い付いた人は誰なんでしょうね?

こんなことを思い付く人こそ、数学のセンスがあるんでしょう。

私は示されても… ?うーむ  状態  _| ̄|○

サイトを運営されている 遠田祐人さん 。ありがとうございます。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(141)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/3/23 8:54  更新日時: 2021/3/23 8:54
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2169
 RE: 漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました
おはようございます、こん さん。ブログに目を通して頂きありがとうございます。

コメントとても参考になっていますよ。

なるほどぉ~…。特性方程式と言う単語は、本来高校で扱う漸化式 (二項間漸化式) よりも、もっと複雑な漸化式 (三項間漸化式) に適用するテクニックから来ているようですね。

「特性方程式 間違い」でちょっと検索を掛けてみたら下記のようなサイトが見つかりました。
怜悧玲瓏 ~高校数学を天空から俯瞰する~

上記の9月23日の記事に、ちょっとした間違いが、後に正しいことして一般化してしまう流れが説明されてますね。

ここに載っている小さな漫画は「三国志」かな? 

ちょっと大げさな引き合いですが、面白いサイトがヒットした次第です。こん さんがここのサイトをご覧になられたかは分かりませんが、とても参考になりました。

チャート式数学Bにも特性方程式と言う表現は「本書では」と断ってありますしね。

丁寧な解説をありがとうございます。高校数学の数列の、さらに上の数列を垣間見た気分ですね。

ではでは。
時空 解
投稿日時: 2021/3/23 8:36  更新日時: 2021/3/23 8:36
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2169
 RE: 漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

まさか!   安藤商会さんは学生の頃に「ええっ!こんな簡単な事がわからないのぉ?」なんて言われていたんですか?

とても信じられないですよ。

とにかく、おっしゃる通り「別解」の階差数列に持って行く解法の方が流れとしてはスムーズな気がしますよね。これには共感します。

想い出してみると、私が高校時代に教わった解法も「階差数列」に持って行く方だったように記憶してます。特性方程式って言う単語は聞いた覚えがないですしね。
本当に こん さんが指摘していらっしゃる通りチャート式数学Bにも
「本書では 特性方程式 と呼ぶことにする。」
と言う書き方がされていますからね。

では、今日もコメントありがとうございます。
こん
投稿日時: 2021/3/22 22:14  更新日時: 2021/3/22 22:14
半人前
登録日: 2018/4/10
居住地:
投稿数: 34
 RE: 漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました
こんにちは
漸化式の扱いにはパターンがあります。
基本パターンは、時空さんが挙げられた3つです。ですので、高校数学の数列では、

その形にどう当てはめるか?(どう持ち込むか)

になります。
安藤商会さんが指摘された「別解」のやり方は、今回の
a(n+1)=p*a(n)+q
の形だけでなく
a(n+1)=x*a(n)+y*n+z
qの部分が方程式になっても使用できますので使い回しが効きますが、

階差数列の特性上
01 場合分けが必要
「n>=2 の時」、「この式はn=1の時も成り立つ」の呪文が必要
02 Σの式がめんどくさい

ということがあります。
ということで、この
a(n+1)=p*a(n)+q
のときには
{a(n+1)-α}=p*{a(n)-α}
という形(等比数列の形)にするために、
今の式を変形すると、
a(n+1)=p*a(n)-p*α+α
になるので、
-p*α+α=q
でαを求める。ということを
(この形に限って)簡単に求められることとして使われています。

*****
ここで、脱線しますが、この式(二項間漸化式)を「特性方程式」と呼ぶのは少し異論があります。
3/7の時空さんの記事の中のチャート式の記事の一番下の行に
「これを本書では特性方程式と呼ぶ」という記述があります。一昔前まではこの式に名前は付いていませんでした。
本来は三項間漸化式の解法で使用する式を「特性方程式」(本当はもっと難しい決まりがあるようですが)と呼びます。

a(n+2)-5*a(n+1)+6*a(n)=0
a(1)=1 a(2)=5

のような式です。
細かいことは「特性方程式 間違い」で検索をかけて見てください。
安藤商会
投稿日時: 2021/3/22 12:44  更新日時: 2021/3/22 12:44
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: 漸化式には4つのパターンとして整理されていますが $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の特性方程式の目的が腑に落ちました
'
こんにちは。

「特性方程式」…難しいです(汗)

リンク先のサイト「アタリマエ!」も見てみましたが、現状では「なるほどぉっ。理解できたっ!」とは言い難いです。自分には。

特性方程式は「数学的センスのある人物の天才的な閃き」という感じがします。

内容はともかく、サイト名の「アタリマエ!」というのも…ナントモ…アレですかね(汗)

私のように、学生時代に典型的な「劣等生・落ちこぼれ」の方からすると、この「アタリマエ!」というセリフには、並々ならぬ嫌悪感と共にとても気分を害する物があります。

現代はどうか知りませんが、昔は勉強ができる子はできない子に向かって、

「えぇっ! こんな簡単な事がわからないのぉ? こんなの説明も要らない『アタリマエ』の事じゃないかぁ(笑)」

とよく言いましたからね。

私など子供の時には、友達から何度このように言われたか、数えられないくらいですから。

どんな事も、すでに理解できている者からすれば「アタリマエ」かもしれませんが、そうでない者にはとても難しい事です。

それよりも、『青チャート式数学B 基本例題116』の、階差数列を使用した「別解」のほうが、今までの学習との関連性を強く感じますし、解法がすんなり納得できますね。

実際に「アタリマエ!」の漸化式の「2,4,10,28,…」という数列も階差数列ですので、青チャートの「別解」で解けますし。

もちろん「特性方程式」は使えるようにしないとダメでしょうから、計算方法は覚えようと思います。

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