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時空 解 さんの日記

 
2021
4月 5
(月)
09:47
解法に入れ子構造を連想する $ f(x) = x^2 -2x + \displaystyle \int_{0}^{ 2 } f(t) dt $
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

昨日の「実用数学技能検定要点整理2級」の「第5章 5-4 積分法の応用」の練習問題4に付いて、今日も書いてみます。
 
p118 練習問題4
次の等式を満たす関数 $ f(x) $ を求めなさい。

   $ f(x) = x^2 -2x + \displaystyle \int_{0}^{ 2 } f(t) dt $

この問題の解き方は下記の通りです。(これは要点整理2級の解法とは違いますが、本質は一緒だと想います)
 
$ \displaystyle \int_{0}^{2} f(t) dt $ は定積分なので、定数。したがってこれを定数 $ C $ と置くと

与式は
   $ f(x) = x^2 -2x + C $   $ \left( C = \displaystyle \int_{0}^{2} f(t) dt \right) $

と置き換えられる。これより $ f(t) $ は上式の変数 $ x $ を $ t $ と読み替えると

   $ f(t) = t^2 -2t + C $

となるので
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{2} ( t^2 -2t + C ) dx 
= \left[ \frac{t^3}{3} -t^2 +Ct \right]_0^2
= \frac{8}{3} -4 +2C
\end{eqnarray}
これより
$ C = \displaystyle \frac{8}{3} -4 +2C $    整理すると $ C = \displaystyle \frac{ 4 }{ 3 } $
$ \therefore f(x) = \displaystyle { x^2 -2x + \frac{ 4 }{ 3 } }$


この問題の与式は、なんだか入れ子構造のように見えてしまって嫌悪感があります。
皆さんはそう思いませんか?

コンピューターなどのプログラミングを経験された方なら共感して頂けると想うのですが、解法の次のところ

-----------------------------------------------------------
   $ f(t) =  \textcolor{red}{ t^2 -2t + C } $

となるので
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{2} ( t^2 -2t +  \textcolor{blue}{ C } ) dx 
= \left[ \frac{t^3}{3} -t^2 +Ct \right]_0^2
= \frac{8}{3} -4 +2C
\end{eqnarray}
-----------------------------------------------------------
赤文字の $ \textcolor{red}{ t^2 -2t + C } $ をブルーの $  \textcolor{blue}{ C } $ のところに再び入れなくてはいけない気がして、グルグルとまるで合わせ鏡のように延々と式が長くなる錯覚に陥るのです。

うーむ…これは昔仕事でプログラミングをしていたからなんでしょうかね?

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
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