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時空 解 さんの日記

 
2021
4月 7
(水)
10:07
対数という表記の便利さ、やっと分ってきました
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

数学検定を受検してきて、過去にも何回か対数に悩まされてきました。
例えば $ 81 $ と言う数量表記と $ \log_{ 10 } 81 $ と言う数量表記      2018年 4月12日付けのブログ記事
$ 5^{12},~6^{11},~9^{10} $ の大小関係…どうして常用対数をとれば良いのか?  2019年 9月24日付けのブログ記事

今年が2021年ですから、2年と7ヶ月に渡って対数を自分の物に出来て来なかったのですが…
今日、なんとなく対数表記の便利さが分かった気がしました。

…まぁこんなこと言ってしまうと「ハードルを自分で上げてしまう行為」なんですけどね… 

ともかく指数表示された数値 $ 5^{12},~6^{11},~9^{10} $ の大小関係を調べるのに、どうして常用対数を取れば良いのか分かってきました。
 $ 5^{12},~6^{11},~9^{10} $ なんて言う大きな数量をいきなり見せられるから難しく感じてしまうのだなぁ…なんて想ったりしました。

こんな大きな数量で考えずに、例えば $ 2 $ と $ 3 $ でやってみましょうか?
そうすると
「$ 2 $ と言う数量を常用対数で表すとどうなりますか?」
と言う問いには、直ぐに答えられますよね?
言い換えるならば
「$ 2 $ は $ 10 $ を何乗した数量ですか? これを $ a $ としてください」
と言う問いかけと一緒です。この問いかけを数式で表すと

$ \log_{ 10 } 2 = a $

なんですよね。これに続けて
「$ 3 $ は $ 10 $ を何乗した数量ですか? これを $ b $ としてください」
については

$ \log_{ 10 } 3 = b $

ですよね。

さて、$ 2 $ と $ 3 $ の大小関係は直ぐに分かりますよね。$ 2 \lt 3 $ ですからね。何も常用対数で比較する必要はありません。
でも、これを常用対数を取って比較することは出来ます。数学検定で出題される問題文には、ダイレクトにこの数値が

$ \log_{ 10 } 2 = 0.3010 $
$ \log_{ 10 } 3 = 0.4771 $

と書かれています。$ 2 $ は $ 10 $ を $ 0.3010 $ 乗した数量。$ 3 $ も同じように
$ 2 = 10^{0.3010} $
$ 3 = 10^{0.4771} $

です。底が $ 10 \gt 1 $ ですから、指数の大小関係 $ 0.3010 \lt 0.4771 $ 、つまり $ a \lt b $ より $ 2 \lt 3 $ と言えることが分かります。
$ 2 $ とか $ 3 $ とか小さい数量だとありま便利さは感じませんが、これが $ 5^{12},~6^{11},~9^{10} $ などのおおきな数量となると、常用対数を取る理由がわかってくるでしょう。
なんと言っても問題文に
「$ \log_{ 10 } 2 = 0.3010 $、$ \log_{ 10 } 3 = 0.4771 $ とする」
と明記されているんです。
世の中には常用対数表があるんです。
ですから大きな数量どうしの大小関係を知るには、とりあえず常用対数に変換してみて、その指数の大小関係を見ればわかると言うことで、とりあえず常用対数に変換する、と言うことです。

おっと、もうこんな時間だ。
では今日はこの辺で。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
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