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時空 解 さんの日記

 
2021
6月 5
(土)
11:17
このブログの内容、不十分です… "「三角関数の合成」の完全理解。説明にいきなり「座標平面に点 $ (a,~b) $ を取る」( $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ ) とする理由の検証 ( 書きかけです…すみません ) "
本文
以下のブログの内容は
・いきなり「座標平面に点 $ (a,~b) $ を取る」( $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ ) とする理由
を説明するには、方針が不適切でした。追記をすることを中断いたします。申し訳ありませんがご了承ください。お詫び申し上げます。2021-06-07。m( _ _ )m


-------------------------------------------------------------------------------------
(出掛ける時間になってしまいました。続きは明日にでも…途中ですがすみません)
皆さんこんにちは、時空 解です。

今日は昨日のブログで皆さんに投げかけた問いに対する解説をさせて頂きたいと思います。

昨日の問いかけとは
・「三角関数の合成」について、下記の関係が成立していることに皆さんはお気付きでしたでしょうか?
と言うもので、下記の関係式が成り立っています。

$ a \cdot \sin \theta + b \cdot \cos \theta = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( \theta + \alpha ) } $  $ ( a > 1,~~b > 1,~~0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ ) $
の時に

$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $
が成立する。

今日は正確さを心掛けて $ ( a > 1,~~b > 1,~~0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ ) $ の条件と「が成立する」を追記しました。
昨日の記述は雑でしたね。申し訳ありません。m( _ _ )m

と言うことで、さっそく「三角関数の合成」について
$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $

が成立していることを、まずは数式で導いてみましょう。
 
$ a \cdot \sin \theta + b \cdot \cos \theta = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( \theta + \alpha ) } $

上式に $ \theta = 0^\circ $ と $ \theta = 90^\circ $ の場合を、それぞれ代入してみると

$ \theta = 0^\circ $ の場合
$ a \cdot \sin 0^\circ + b \cdot \cos 0^\circ = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( 0^\circ + \alpha ) } $
$ a \cdot 0 + b \cdot 1 = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin \alpha $

$ \therefore \sin \alpha = \displaystyle \frac{ b }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } $
両辺に $ a $ を掛けると

$ a \cdot \sin \alpha = \displaystyle \frac{ ab }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } $ …(1)

$ \theta = 90^\circ $ の場合
$ a \cdot \sin 90^\circ + b \cdot \cos 90^\circ = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot  \textcolor{blue}{ \sin{ ( 90^\circ + \alpha ) }} $
$ a \cdot 1 + b \cdot 0 = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot  \textcolor{blue}{ \cos \alpha }$

$ \therefore \cos \alpha = \displaystyle \frac{ a }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } $
両辺に $ b $ を掛けると

$ b \cdot \cos \alpha = \displaystyle \frac{ ab }{ \sqrt{ a^2 + b^2 } } $ …(2)

$ (1),~(2) $ より
$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $

と言うことで$ a \cdot \sin \alpha = b \cdot \cos \alpha $ が成り立つことが式変形から見て取れたと思います。

…でも… やっぱり
・いきなり「座標平面に点 $ (a,~b) $ を取る」( $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ ) と出てくるのか?
と言う疑問は解消されないですかね…。

ここでちょっと考えてみてください。三角関数の合成の等式をよく眺めてみると…
$  \textcolor{blue}{ a \cdot \sin \theta } + \textcolor{green}{ b \cdot \cos \theta } = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( \theta + \alpha ) } $

$  \textcolor{blue}{ a \cdot \sin \theta } $ は $ \theta = 90^\circ $ の場合に最大値 $ a \cdot 1 $ をとります。これからも分かるように $ a $ は $ a \cdot \sin \theta $ の最大値 (長さ) を示しています。
$ \textcolor{green}{ b \cdot \cos \theta } $ は $ \theta = 0^\circ $ の場合に最大値 $ b \cdot 1 $ をとります。同様に $ b $ は $ b \cdot \sin \theta $ の最大値を示しています。

では $ \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( \theta + \alpha ) } $ が最大値 $ \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot 1 $ を取るのは $  ( \theta + \alpha ) $ が何度の時か?…と考えると

 $  ( \theta + \alpha ) = 90^\circ $
の時ですよね。そして $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ は $ \sqrt{ a^2 + b^2 } \cdot \sin{ ( \theta + \alpha ) } $ の最大値を示しています。

こうして見てくると、もう既に
・「座標平面に点 $ (a,~b) $ を取る」( $ \sqrt{ a^2 + b^2 } $ ) とする理由
がなんとなくイメージ出来るようになったのではないでしょうか?

ここで具体的に数値を入れてみましょう。$ a = 4 $、$ b = 3 $ とします。すると三角形の合成より

$ 4 \sin \theta + 3 \cos \theta = r \sin{ ( \theta + \alpha ) } $ …(3)
となります。

ここで $ r = \sqrt{ 4^2 + 3^2 } = 5 $ なんですが、あえて伏せておきます。ここを直感したいのですからね。( ^^;

でも直感するためには
「 $ r $ は最大値を示している」
と言うことが分かっていれば大丈夫です。等式 (3) の右辺側が実際に最大値 $ r $ を取るのは $ \sin{ ( \theta + \alpha ) } = 1 $ になる角度の時です。
また左辺側の $ 4 \sin \theta $ と $ 3 \cos \theta $ がともにほどほどの長さを取ってくれると、足し合わせて右辺側が最大値 $ r $ になるんです。

イメージ出来たでしょうか?

ここで単位円の場合を考えてみましょう。$ \cancel {\sin \theta + \cos \theta = r \sin{ ( \theta + \alpha ) }} $ についてです。
---------------(この続きは後日。追記・改訂してここのブログを完成させます。…すみません)--------------------- (2021-06-07 削除)

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。
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