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Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学検定  >  こんな問題、どう思われます?強引に「点と線の距離」の公式を使って解く問題。

時空 解 さんの日記

 
2021
6月 8
(火)
09:22
こんな問題、どう思われます?強引に「点と線の距離」の公式を使って解く問題。
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

今日の朝、「実用数学技能検定要点整理2級」をやっていたら下記の問題に出くわしました。
p42 応用問題 2次 1
座標平面上の3点 $ O(0,0),~A(0,-1),~B(2,5) $ を頂点とする $ \triangle OAB $ の面積を求めなさい。

うーむ…これを座標平面上に書き込むと右図のようになります。
この三角形の面積と言えば一目瞭然!

底辺を $ OA $ と見れば、三角形の高さは $ 2 $ ですよね。ですから

$ (1 \cdot 2) \div 2 = 1 $
です。

しかしこれでは簡単すぎないか?
と思いきや答えをみると…なんだ…こんなややこしい解答の仕方が書いてありました。
 
2点 $ A,~B $ 間の距離は

$ AB = \sqrt{ (2-0)^2 + \{ 5-(-1) \}^2 } = \sqrt{ 40 } = 2\sqrt{ 10 } $

直線 $ AB $ の式は $ y = 3x - 1 $ すなわち $ 3x - y - 1 = 0 $ だから、原点 $ O(0,0) $
と直線 $ AB $ の距離 $ d $ は、

$ d = \displaystyle \frac{ \left| -1 \right| }{ \sqrt{ 3^2 + (-1)^2 } } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 10 } } = \frac{ \sqrt{ 10 } }{ 10 } $

よって面積は、$ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } × AB × d = \frac{ 1 }{ 2 } × 2\sqrt{ 10 } × \frac{ \sqrt{ 10 } }{ 10 } = 1 $

答え 1

数学検定の2級2次を受検している時に、この「p42 応用問題 2次 1」のような問題に出くわしたら、上記のように解答しないと1点貰えないのでしょうか?
 
座標平面上の図を示して

底辺を $ OA $ と見れば、三角形の高さは $ 2 $
従って三角形の面積の公式より

$ (1 \cdot 2) \div 2 = 1 $

答え 1

とやったら何点貰えるのでしょう…?

うーむ…うーむ01
でも、これは三角形の1辺が座標軸に平行だからできる計算です。実際の数学検定2級2次の出題は、3辺すべてが座標軸と平行でない場合を出してくるのでしょう。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(95)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/6/8 23:07  更新日時: 2021/6/8 23:07
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2258
 RE: こんな問題、どう思われます?強引に「点と線の距離」の公式を使って解く問題。
こんばんは、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

なあるほど…確かに3辺全てが座標軸と非平行であっても、簡単に計算する方法がありますね。
これに気が付く方が「点と線の距離」の公式を覚えでバカの一つ覚えで解くよりも点数付けたい気がします…。( ^^;

こう言うところが本当は面白いところですよね。数学の楽しみと言うものです。

結局数学検定と言うのは「数学の基本を知っている」あかしとなる検定と言えるかも知れませんね。

数学検定を受けるなら数学検定のテキストですね。改めて実感しました。

今日もコメント・アドバイスありがとうございます。( ^^).

ではでは。
安藤商会
投稿日時: 2021/6/8 22:35  更新日時: 2021/6/8 22:35
一人前
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 75
 RE: こんな問題、どう思われます?強引に「点と線の距離」の公式を使って解く問題。
'
こんにちは。

今回の記事のような出題は解法がたくさんあるので、どの方法で解くのかは難しいですよね。

検定では解法に条件が付いた形で出題されると思いますね。

もしくは、時空解さんが書かれている、

「実際の数学検定2級2次の出題は、3辺すべてが座標軸と平行でない場合を出してくるのでしょう。」

かもしれませんね。

ですが…。

たとえ3辺すべてが座標軸と平行でない場合でも、計算を大幅に短縮した方法(下記)で解いた場合、それで1点貰えるかが微妙だと思います…。

XY平面に原点(0,0)を頂点の1つに持つ三角形の面積Sは、残りの2点の座標をそれぞれ A=(xa,ya)、B=(xb,yb)とすると、

「 S(三角形の面積) = |xa・yb - xb・ya| ÷ 2 」

(Aのx座標×Bのy座標)- (Aのy座標×Bのx座標) の絶対値(正の値)の半分。

今回の出題の場合は、|0・5-(-1・2)|÷ 2 = (0+2)/2 = 1

実際には頂点の1つを原点に平行移動した形で、残りの2点の頂点の座標値を変更すれば、XY平面上に存在するどんな三角形の面積でも、この計算で出せますからね。

このような計算方法は、私し好みの「気の利いた数学本」にはたくさん載っていますが、数学検定のテキストでは見かけません。

受験数学の裏ワザ50 [数学IA][数学IIB]
https://www.gakusan.com/home/info.php?code=0000003045602

大学入試 数学の裏ワザが面白いほど使える本[1・A・2・B]
https://green.ap.teacup.com/reviewermizuno/895.html

それどころか、数検の関連書は今回のように「ワザワザ面倒臭い解き方」をしている事が多いですよね(泣)

心情的には納得できないですが、私の意見としては検定では「数検監修書の模範解答のように解く」方が無難だと思いますね。

ですから「チャート」などではなく、実際の過去問や数検問題集の模範解答の解き方を身に付け記述しないと、なかなか点を稼ぐ事は難しいでしょうね。

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