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時空 解 さんの日記

 
2021
9月 5
(日)
09:56
青チャート式数学Aの「基本例題129」でハマったところ
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

さて、数日のあいだ青チャート式数学Aの「基本例題129」にハマっていました。
問題は下記のとおり。

基本例題 129
$ 3 $ で割ると $ 2 $ 余り、$ 5 $ で割ると $ 3 $ 余り、$ 7 $ で割ると $ 4 $ 余るような自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。
 

この問題の解答・解説は本書 (右画像) を確認して頂けるとありがたいです。
今日のブログに書きたいのは、この問題で解答・解説を読んでも理解に苦しんだ点を書いてみたいと思います。

苦しんだ大きな点は、下記の点ですね。
1, 自然数 $ n $ を数式にする
2, 不定方程式 $ 3x - 5y = 1 $ から $ 3(x -2) - 5(y -1) = 0 $ と言う式変形の考え方、意味
3, 不定方程式 $ 7z - 15k = 4 $ の整数解の一つを $ z = -8,~k = -4 $ ではなくて  $ z = 7,~k = 3 $ を使うと、$ l = 1 $ としても $ n $ が最小値にならない

この疑問点のうち、初めの「$ n $ を数式にできない」のは恥ずかしい限りでした。
でも変数が3つになるので、直観的に躊躇してまう自分がいます。( ^^;

まぁそれはともかく…

次の "2" が、この問題の本質でしょう。
$ 3x - 5y = 1 $ から一組の整数解を見出して、「互いに素」と言う考えを利用するという発想。
この発想が理解できないと、この問題は永遠に頭の中でもやもやとしたものになるでしょう。

初めてこの問題の解答を観た時には $ 3(x -2) - 5(y -1) = 0 $ の数式の $ 0 $ に「?」が浮かびました。
どうして $ 3(x -2) - 5(y -1) = 1 $ じゃないの?

でもこんな疑問を感じるのは、ただ単に数式の「字ずら」からくる連想ですよね。_| ̄|○ グラフの平行移動とごっちゃになってました…

ここの部分は数直線を書いてみるとスッキリすると思います。
「互いに素」を利用して最小公倍数を $ k $ (1つの変数) を使って表現するのが目的ですが…

ここで、そもそもの問題文から「余り」を排除するとどうなるかを考えてみましょう。
中学生レベルの問題になりますよね。

「$ 3 $ でも $ 5 $ でも $ 7 $ でも割り切れる自然数 $ n $ で最小のものを求めよ。」

問題が上記のようなものであれば、まぁ $ n $ は $ 3,~5,~7 $ の最小公倍数だということは直ぐに分かるでしょう。
もともとの問題は、これに「余り」が入っています。

それをどう処理するかですよね。

おっと! えっ!01

すみません、もうこんな時間になってしまいました。今日で完結させられれば良かったのですが、そうすると会社に遅刻してしまいます。
一番言いたいのは 3 の疑問点なんですけどね…続きはまた明日にでも…。

申し訳ありませんが覗きに来てくださいね。m( _ _;)m

今日はここまでと言うことで、ご了承くださいませませ

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。

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閲覧(66)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/9/6 11:46  更新日時: 2021/9/6 11:46
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2455
 RE: 青チャート式数学Aの「基本例題129」でハマったところ
 
 
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

あはは、私が言いたいことをちゃんと把握して頂けましたね。

まさに、不定方程式の整数解の一つを「z=7、k=3」とすると、$ l = 0 $ としなくてはならなくなります。

ここが悩みましたね。疑問を感じました。

これも数学の解答? …と言う気がしたことは確かです。

この問題を解いた時に、私は
「$ 13 $ の倍数で $ 100 $ に一番近い整数を求めよ」
と言う中学一年の時の問題を思い出しました。

$ 100 \div 13 $ は、商 $ 7 $ で余りが $ R=9 $ ですよね。それで中学の時 $ 91 $ と考える友人が数人いました。

でもこれって $ 104 $ が正解なんですよね。

この $ 91 $ ともう一つ $ 104 $ も検討しなくてはならない「$ 100 $ を超える値の検討の必要性」に気が付くか否かが、この問題の隠れたポイントです。

そう考えると、基本例題129も自然数 $ n $ の最小値を聞いているのですから…。 うーむ…。

$ l = 1 $ で出てくる数式を導いても $ l = 0 $ で出てくる数式を導いても、最小値は $ 53 $ を選択できないといけませんよ、と言う問題なんでしょうかね?

$ l = 1 $ であれば、チャート式の解答・解説としては $ l $ に最小値を入れると、最小値 $ n $ が出てくると言う、いかにも数学らしい格好がついて、解説をする紙面が少なくて済む…なんて想えたりもしますよね。

いろいろとご意見をありがとうございます。
この手の問題をどう受けとめて行けばいいのか、今後の課題にしたいと思っています。

ではコメントありがとうございます。( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/9/5 19:43  更新日時: 2021/9/5 19:43
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 175
 RE: 青チャート式数学Aの「基本例題129」でハマったところ
'
こんにちは。

「…一番言いたいのは3の疑問点なんですけどね…」

もう一度チャートの解説を読んでみると、

『 最小となる自然数は、l=1 を代入して 53 』

と、だけしか書いてありますせんからね…(汗)

「z=7、k=3」で計算を進めると、「 n = 7(15l+7) + 4 」ですから、「l=1」を代入してしまうと「n=158」となり、解答の「53」にはなりませんからね。

青チャートが算出した式が、たまたま「 n = 7(15l-8) + 4 」なので、この式の場合は最小となる自然数は「l=1」の時ですね。

「 n = 7(15l+7) + 4 」の式で答えを求めようとすれば、「l=0」を代入しなければ最小の自然数「0+49+4=53」にはなりませんからね。

「 l 」を整数と設定しておりますから、他の数値もちゃんと代入して計算しないと正解には辿り着けません。

これはもぅ、青チャートの解説が説明不足としか思えませんね。

そして、受験用の参考書としての配慮の低さを感じました。

もし、入試問題で同じような出題があり、自分が算出した式が「 n = 7(15l + 18)+ 190 」だったらどうでしょうか?

式を展開すると「 n = 105l + 316 」ですから、「 l= -3 」で、最小の自然数「 n=1 」となります。

これは私が勝手に思いついた極端な例でしょうが、最小になる自然数が青チャートの基本例題で「 n=1 」なのは、カン違いしやすいと思います。

何よりも、『最小となる自然数は、l=1 を代入して…』とい解説のしかたが、何も考えず「1」を代入するのが当然のような書き方に見えます。

こんな事を指摘すれば、

「そんな当たり前の事をカン違いするような生徒は、もう一度『白チャート』からやり直して下さい。」

と言うのが出版社の言い分でしょうけどね。

それにしても、青チャートの解説はこのような事が多過ぎるように思います。

なぜに、この参考書の評価は世間ではあれほど高いのでしょうかね?私には疑問です。

時空解さんは、よく嫌にならずに何年(何十年?)も使い続けられますね…。

単なる『青チャート信仰』ではなく、私が持ち合わせていない『一度自分で決めた事はやり抜く』意思の強さを感じます。

このような部分は、正直見習いたいと思います。

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