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時空 解 さんの日記

 
2023
5月 19
(金)
09:47
$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 $ がどうして $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1) $ になるのか、やっとわかった
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

私が高校の時代に、シグマにどうもなじめなかった理由の一つ下記の公式が納得できなかったと言うのがあります。表題にも書きましたが

$ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 = \frac{ 1 }{ 6 } n(n+1)(2n+1) $

どうしてこの公式が成り立つのか、その証明が理解できなかったのです。
高校の授業で教えてもらった証明は、帰納法を利用した証明だったと記憶しています。
これについては下記の動画が参考になりますので、視聴してみてください。

・【証明シリーズ】#4 シグマk2乗の数学的帰納法による証明(数B)



この証明を授業で教えてもらったとき、やっぱり誤魔化されている印象がありました。

数学的帰納法を使っての証明ですからね…うーむ01

そんなこんなで、当時の私は表題に示しました公式を丸暗記することに納得できなかったのです。
(まぁ一応暗記しましたけどね…すぐに $ (2n+1) $ だったか $ (n+2) $ だったかこんがらがりました)

でもあれから五十年弱。やっと
「おおっ!」
と思える証明を YouTube動画で見つけました。

それがこちら
・シグマの公式の証明(導出)を徹底解説!kの2乗、3乗も理解できる!



この証明、じつは数研出版さんのデジタル副教材「青チャート数学II+B」の中の公式集にも掲載されているんです。
それのみならず、今の時代では書籍の「青チャート数学II+B」にも載っている証明だったんです。
時代は変わりましたね…青チャート数学II+B に載っている証明を右画像に示しておきました。

でもね、この証明を見て内容が理解できるでしょうか? 
私は無理でした。_| ̄|○

それどころかこれは見た瞬間にうんざりする印象です。これでは数学が嫌いになってしまうのも分からないではありません。

と言うことで今の時代、YouTube動画に頼ってみたということです。
いやぁ、YouTube動画による解説。やっぱりわかりやすいですね。

なるほど、3次の展開公式
$ (a + b)^3 = a^3 +3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

を利用するんですね。こんにちは

その発想が素晴らしいです。
$ 3a^2 b $ のところに $ \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^2 $ を当てはめて見てみる…。この着眼点に痺れます。

これなら $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 6 } $ が出てくるのも、$ (n+1)(2n+1) $ になるのも納得ですよね。
これで気持ちよくこの公式を暗唱できます。…( わがままですけどね  ( ^^;  )

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )
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