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時空 解 さんの日記

 
2023
9月 12
(火)
09:47
やっぱり疑問がぬぐえません。「2023年版 要点整理 2級」P24 応用問題1
本文
皆さん こんにちは、時空 解です。

表題にも書きました問題 「2023年版 実用数学技能検定 要点整理2級」の24ページに載っている応用問題は、やっぱり一つの疑問が残ります。

まずは問題とその解答 (考え方・解き方) を右画像に示しておきます。
また、問題そのものを下記の示しておきますね。

「2023年版 要点整理 2級」P24 応用問題1

$ 2x -5y = 1 $、$ 3y +7z = 1 $、$ x+y+z \gt 0 $ をすべて満たす整数 $ x,~y,~z $ のうち、$ x + y + z $ の値が最小となるものを求めなさい。

さて、この問題。なかなか解法がややこしいのですが、解くための流れは【考え方】の通りでしょう。
それと押さえておきたいのは、

"与式を満たす整数解の一つ"

の選び方ですかね…【解き方】と違う整数解を選択したとしても答えは一致するのか否か? 

まぁこれはたぶん一致しそうですし、実際に計算してみればよいことです。確認するには、ただ計算するのみ。
(昨日はちょっと疲れていたのか、この確認作業・計算ができませんでしたけどね ( ^^;  )

たとえば
最初の "与式 $ 2x -5y = 1 $ を満たす整数解の一つ" を

$ x=3,~y=1 $

ではなくて

$ x=-2,~y=-1 $

を使って問題を解いて行くとどうなるのかです。うーむ01


まぁこれについては詳細は省きますが、一つの情報としては
 
$ x=3,~y=1 $ の時には【解き方】のとおり $ x = 5m +3 $、$ y = 2m+1 $

$ x=-2,~y=-1 $ とした時には $ x = 5m - 2 $、$ y = 2m -1 $ 

となります。

ここから次に進んで
$ m $ と $ z $ との不定方程式を導き出して、それを満たす "整数解の一つ" の選び方にもいろいろありますよね。

まぁとにかく "整数解の一つ" の選び方によって最終的な数式が変わってきます。うーむ
【解き方】では
$ x + y + z = 43n + 16 $

となりますが "整数解の一つ" の選び方によって $ n $ の係数は変わってきます。
$ 16 $ は変わりません。 (ここが一つのポイントかな?)

この状況をみて、一つの疑問が沸いてくるんです。
 
$ n $ の係数は変わってきますから、では例えばその係数を $ Q $ とした場合

$ Q \lt 16 $
となるような場合は存在しないのでしょうか?

と言う疑問です。

もし係数 $ Q $ が $ 16 $ よりも小さい値を取ったとするならば…例えば $ Q = 13 $ とかね。
そしたら、答えの
$ x=13,~y = 5,~z =-2 $ と言うのが変わってきます。 $ n = -1 $ と言う状況が発生しますからね。

やっばり $ Q \gt 16 $ であることは証明、押さえる必要がある気がします。
…でも直感的には $ Q \lt 16 $ はあり得ない気はしますが…

まぁこの問題はここまでとして、次に進みますね。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )
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