皆さん こんにちは、時空 解です。

今日は問題の答えを見ても、それが答えに成っているのか否かが良くわからなかった問題について書いてみます。
その問題は表題に書いたとおり下記の問題です。
 
この問題、どうやって証明しますか？
私は、まずは $ a + b = 1 $ から $ b = 1 - a $ とやって、$ a^3 + b^3 + 3ab = 1 $ の $ b $ を消去してみました。
そうすると下記の式を得ます。

$ a^3 +(1-a)^3 + 3a(1-a) = 1 $
これを整理すると　…なんと！　$ a $ も消えてしまって

$ 1 = 1 $
となっちゃうんです。( ^^;

次の作戦としては

$ a + b $ の形を作り出すために因数分解の公式
$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2) $
を利用して、与式の $ a^3 + b^3 $ のところに代入して整理すると

$ (a+b)(a^2 -ab +b^2) + 3ab = 1 $

上の式が出てきます。
…うーむ…ここで $ a + b = 1 $ なのだから…と考えると

$ (a^2 -ab +b^2) +3ab = 1 $
$ a^2 +2ab + b^2 = 1 $
$ (a + b) = 1 $

でも、これでは証明になっていませんよね。
ですのでね、ここでテキストの答えを見たんです。

それが下記

この答をみて皆さんはどう思われます？
すぐに納得できましたでしょうか？

私は先に書いた計算をして証明をしようと思っていたので、なんだか頭が切り替わりませんでした。

答えとして $ (a + b)^3 $ がイキなり出てきますが、これって与式の中の $ a^3 + b^3 $ に対するものではないのですね。

与式とはまずは別に、まずは展開の公式を利用するんですねぇ…
このことは答えの最後にも書かれていますが…ピンとこなかった。 ( ^^;


この証明問題、下記のような問題を先に出題してくれていさえすれば、すぐにわかったと思いますけどね。

 
まぁ設問 (2) が強引な問題ですが、考え方を逆にすれば
「あぁなるほど、$ (a +b)^3 $ の展開式を利用して証明できるなぁ」
と納得できます。

皆さんは答えをみてすぐに証明の仕方のポイント、わかりましたか？
私はちょっと時間が掛かりました。＿|￣|○

では今日も１日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
( ブログのコメント欄は 2022-04-16 に閉鎖いたしました )