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時空 解 さんの日記

 
2024
6月 22
(土)
09:51
「新課程 青チャート式数学II」基本例題15 の詳細
本文
皆さん こんにちは、時空 解です。

キチンと書き出すことができました。

これで解答にも書かれている
「$ S_n $ は初項 $ P(1+r) $、公比 $ 1+r $、項数 $ n $ の等比数列の和である」
が確認できました。

…まぁ私だけですかね、納得するのにこんなにも時間が掛ったのは ( ^^;
 
「新課程 青チャート式数学II」基本例題15

年利率 $ r $、1年ごとの複利での計算とするとき、次のものを求めよ。
(1) $ n $ 年後の元利合計を $ S $ 円にするときの元金 $ T $ 円
(2) 毎年度初めに $ P $ 円ずつ積立貯金するときの、$ n $ 年度末の元利合計 $ S_n $ 円

・設問 (2) の解説動画

昨日は、下記の点がポイントだなぁ…と言うところまでで時間切れになってしまいました。

・"毎年度はじめ" と "年度末" と言う表現を受け取り方
・$ ( 1+r ) $ は $ P + Pr $ だと言うこと
・$ n $ 年後とは、初年度が1年目? それとも 0年目?

今日はこの点がハッキリしました。

初年度は $ 1 $ 年目ですね。ですから " $ n $ 年度末" と言う表現に初年度を対応させると
・"初年度末" とは $ 1 $ 年度末
のことです。ですから、初年度に $ P $ 円を入金して初年度末になると利子が

$ Pr $ 円

付くんですよね。つまり初年度 ($ 1 $ 年目) は

初年度 ($ 1 $ 年目) $ P $ 円入金時  :$ P $ 円
初年度 ($ 1 $ 年目) 末      :$ Pr $ 円の利子がつくから、合計 $ P + Pr $ 円。つまり $ P(1+r)^1 $ 円

と言うことなんです。
続いて2年度目は下記のようになりますね。

2年度 $ P $ 円入金時  :$ P + P(1+r)^1 $ 円
2年度末      :$ \{P + P(1+r)^1 \} r $ 円の利子がつくから、合計 $ \{P + P(1+r)^1 \} + \{P + P(1+r)^1 \} r $ 円。
                                これは $ \{P + P(1+r)^1 \}(1+r) $ と変形できるから、つまり $ P(1+r) + P(1+r)^2 $ 円

と言うことで、2年度末には $ P(1+r) + P(1+r)^2 $ 円となるんですね。
3年度目以降も同様に計算できます。

 $ P(1+r) + P(1+r)^2 + P(1+r)^3 $ 円

したがって $ n $ 年度の末には

 $ P(1+r) + P(1+r)^2 + P(1+r)^3 + …+ P(1+r)^n $ 円

これでやっと、この基本例題15の設問 (2) が理解できました。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
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