50代から理数を学ぶ - ニュートンとパスカルの三角形

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時空解さんの日記

2017

9月 3

(日)

09:45

ニュートンとパスカルの三角形

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カテゴリー数学

本文

皆さん、おはようございます。時空解です。

昨日も「不思議な数 e の物語」を読んでいた次第です。高校を卒業して、専門学校生時代の時にこの書籍があれば、きっと大興奮で読んでいたと思います。今でも興奮してしまうのですから。

第８章：新しい科学の誕生のところを読んで、ニュートンがパスカルの三角形を研究していた事を始めて知りました。( a + b )^n の展開式・係数に関するものです。パスカルの三角形 ( 画像：私的数学塾 ) と言うものは学生の頃から知っていましたが「こんな関係、何の役にたつのかなぁバカバカしい」と思っていました。

一昨日までそう思っていました。

しかしニュートンは研究対象とするほどに、パスカルの三角形に何かを感じたと言う事ですよね。

うーむ…やっぱり私とは違う。

で、書籍を読み進めて行くと、ニュートンはこれと双曲線とそれに囲まれた面積が対数によって表現出来る( サン・ヴァンサンの発見)事とを結び付けるのです。書籍には数学的な内容もキチンと書かれています。これなら数学検定の１級を取得してからなら、何とか理解できそうな内容です。とても興奮しますよね。今はまだ理解出来ませんけどね…。

フェルマーはニュートンより３０年も前に、取りつくし法によって放物線で囲まれた面積計算には成功しているそうです。y = x^n の曲線グラフに対してほとんどの整数 n に対して計算方法が成り立つ事を発見していました。しかし n = -1 に付いては成り立たなかった。これがすなわち双曲線で、フェルマーは失望感を持っていたそうです。(このフェルマーのくだりも第７章：双曲線の面積を求めるに書かれています)

ニュートンはそれに成功したのです。

パスカルの三角形に目をつけて、それに対して負数ならどうか？分数ならどうか？と考え、そして双曲線に視点を移したようです。 ( 負数からの洞察のようで、-1 が双曲線 ) そして対数グラフと面積の関係を洞察して、対数級数を発見するのです。

パスカルの三角形から対数級数に至るニュートンの思考回路…痺れます。
この流れを数式で理解できるようになりたいところです。この流れの中にはフェルマーがつまづいた "ゼロ分のゼロ" と言う問題も見え隠れてしています。

ゼロに対する興味が込み上げてきます。気持ちだけ焦ってしまいます…。

なかなか数学の学習が進められていないのですけどね。今日は頑張って行きたいと思います。
では１日を始めます。

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