50代から理数を学ぶ - マスペディア 098 ～ 103 - 超越数 -

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時空解さんの日記

2017

11月 26

(日)

08:49

マスペディア 098 ～ 103 - 超越数 -

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カテゴリーマスペディア 1000

本文

みなさん、おはようございます。時空解です。

マスペディアもトピックが 1000個あるうちの１０分の１、100個目あたりに来るとさすがに内容が難しくなります。難しいと言うよりは高校の数学の授業では扱わない内容になって来ているので、目新しい、と言った方がいいのかも知れませんけどね。
高校時代にも"無理数" の次に "超越数" と言うものもあるよ、とは聞いたことがありますが、その定義に付いては授業で触れる事はなかったと思います。

マスペディアに書かれている超越数の説明 ( 定義ではないようです ) を、ちょっとここに抜粋してみましょう。

数 a が超越的であるとは、整数からなる多項式に a を代入したときに、整数値となるようなものが存在しないということだ。
超越数はすべて無理数である。しかし、√２のような有理数の根、あるいはべき乗のすべてなど、多くの無理数は超越的ではない。超越的ではない数を代数的という。

超越数と表現せずに超越的と書かれているところが印象的ですよね。

ゲオルク・カントールは無理数が有理数よりも無限に多いことを見出したそうです。
この成果から、ほぼすべての実数が超越的であることも示されたそうです。整数や有理数、代数的数 ( √２など ) は、実数の中のほんの欠片にすぎないのだそうです。

うーむ…これは面白い結果ですよね。

超越数に関する知識がある方からしてみれば今更なのかも知れませんけどね。

対数の底に付いて考えている時に、私は「１０進数ってなんだろうなぁ…」と思ったりしてはいました。数量を１０進数表記で書くのと、２進数表記で書くのとでは随分と印象が変わります。さらに、３進数表記や４進数、５進数…と、どんな表記の仕方をしてもいいのですよね。でも、もとの数量は現実的には１つ。同じ物です。これを１０進数表記するとたまたま整数になるけれども３進数表記すると循環小数ななったり…。こう考えると整数や有理数より超越数の方が数が多いのは、当たり前のようにも思います。
例えば私が今叩いているキーボードのキーを考えてみましょう。キー１つをキーボードから取り外して、その重さを計ったとします。これがキッチリと整数で示せる重さ、例えば１グラムなんてことは到底ありません。１０進数表記で小数表記しなくてはならない重さでしょう。実際、それが本当にドンピシャの数字かどうかは怪しいですよね。超越的な数字で表記しなくてはならない重さである方が、可能性が高いと言えば言えなくもなさそうです。

こんな風に想ってしまう私は、ちょっとマスペディアに感化され過ぎでしょうかな？

ま、とにかく今日も小さな一歩から始めます。

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