時空 解 さんの日記
2018
2月
12
(月)
08:55
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みなさん、おはようございます。時空 解です。
今日は \( \displaystyle \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \) \((0 \le n)\) のご紹介です。
上式は不定積分の公式です。\(x\) の次数 \(n\) がゼロ以上の場合としています。
一昨日に白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の第８章：微分法のところが終了し、次の第９章：積分法 の不定積分を、昨日学習しました。
不定積分は微分法が分っていればすぐに分かりますよね。始めに示した式が、その不定積分の公式になります。\(C\) は積分定数です。
皆さんも微分と積分は良くご存知と思います。例えば \[ f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 4x + 1 \] と言う関数を \( x \) に付いて微分すると \[ f'(x) = 6x^2 + 14x - 4 \] ですよね。
この \( f'(x) \) の原始関数を、不定積分の公式を使って求めてみましょう。
\( f'(x) \) は項が３つありますから、公式 \( \displaystyle \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \) もその３つに当てはめます。
\( f'(x) \) の第１項は \( 6x^2 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 2 \)。よって \[ \displaystyle 6 \cdot \int x^2dx= 6 \cdot (\frac{1}{2+1}x^{2+1} + C_1) = 2x^3 + 6C_1 \]
\( f'(x) \) の第２項は \( 14x^1 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 1 \)。よって \[ \displaystyle 14 \cdot \int x^1dx= 14 \cdot (\frac{1}{1+1}x^{1+1} + C_2) = 7x^2 + 14C_2 \]
\( f'(x) \) の第３項は \( -4 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 0 \)。よって \[ \displaystyle -4 \cdot \int x^0dx= -4 \cdot (\frac{1}{0+1}x^{0+1} + C_3) = -4x - 4C_3 \]
従って\( (2x^3 + 6C_1) + (7x^2 + 14C_2) + (-4x - 4C_3) \) となります。\( C = 6C_1 + 14C_2 - 4C_3 \) とすると、最終的に \[ \displaystyle \int f'(x)dx = 2x^3 + 7x^2 - 4x + C \] が求められます。
さて、昨日上記の学習をするまでは、実は項の係数をインテグラルの前に出す、と言う事を知りませんでした。
まずはここが昨日の学習で学んだ事です。自分が高校生だった時には、係数をインテグラル記号 \( \displaystyle \int dx \) の前に出す、と言う事をしてなかったのでしょうね。これをしないと、後々に問題が解けなくなってしまうのでしょうかね？
次に、下記の問題を昨日解いた時に、私は間違った方法で積分を行ってしまいました。 \[ \displaystyle \int (3x + 1)(3x - 1)dx \]
上記の計算をする時に、私は \( (3x + 1) \) と \( (3x - 1) \) のそれぞれを先に積分してしまいました。
これは大間違い！
まずは展開をしなくてはいけないのですよね。つまり \( (9x^2 - 1) \) を積分するのですよね。
この２点を昨日の学習を学びました。
高校時代に不定積分はちゃんと出来ていたはずでしたが、こうしてみると怪しいものです。忘れちゃってるのかなぁ…とにかく記憶と言うのは変わってしまいがちですよね…。
では今日も１日の習慣は実施します。小さな一歩・挑戦を試みます。
今日は \( \displaystyle \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \) \((0 \le n)\) のご紹介です。
上式は不定積分の公式です。\(x\) の次数 \(n\) がゼロ以上の場合としています。
一昨日に白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の第８章：微分法のところが終了し、次の第９章：積分法 の不定積分を、昨日学習しました。
不定積分は微分法が分っていればすぐに分かりますよね。始めに示した式が、その不定積分の公式になります。\(C\) は積分定数です。
皆さんも微分と積分は良くご存知と思います。例えば \[ f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 4x + 1 \] と言う関数を \( x \) に付いて微分すると \[ f'(x) = 6x^2 + 14x - 4 \] ですよね。
この \( f'(x) \) の原始関数を、不定積分の公式を使って求めてみましょう。
\( f'(x) \) は項が３つありますから、公式 \( \displaystyle \int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C \) もその３つに当てはめます。
\( f'(x) \) の第１項は \( 6x^2 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 2 \)。よって \[ \displaystyle 6 \cdot \int x^2dx= 6 \cdot (\frac{1}{2+1}x^{2+1} + C_1) = 2x^3 + 6C_1 \]
\( f'(x) \) の第２項は \( 14x^1 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 1 \)。よって \[ \displaystyle 14 \cdot \int x^1dx= 14 \cdot (\frac{1}{1+1}x^{1+1} + C_2) = 7x^2 + 14C_2 \]
\( f'(x) \) の第３項は \( -4 \) なので、公式の \( n \) は \( n = 0 \)。よって \[ \displaystyle -4 \cdot \int x^0dx= -4 \cdot (\frac{1}{0+1}x^{0+1} + C_3) = -4x - 4C_3 \]
従って\( (2x^3 + 6C_1) + (7x^2 + 14C_2) + (-4x - 4C_3) \) となります。\( C = 6C_1 + 14C_2 - 4C_3 \) とすると、最終的に \[ \displaystyle \int f'(x)dx = 2x^3 + 7x^2 - 4x + C \] が求められます。
さて、昨日上記の学習をするまでは、実は項の係数をインテグラルの前に出す、と言う事を知りませんでした。
まずはここが昨日の学習で学んだ事です。自分が高校生だった時には、係数をインテグラル記号 \( \displaystyle \int dx \) の前に出す、と言う事をしてなかったのでしょうね。これをしないと、後々に問題が解けなくなってしまうのでしょうかね？
次に、下記の問題を昨日解いた時に、私は間違った方法で積分を行ってしまいました。 \[ \displaystyle \int (3x + 1)(3x - 1)dx \]
上記の計算をする時に、私は \( (3x + 1) \) と \( (3x - 1) \) のそれぞれを先に積分してしまいました。
これは大間違い！
まずは展開をしなくてはいけないのですよね。つまり \( (9x^2 - 1) \) を積分するのですよね。
この２点を昨日の学習を学びました。
高校時代に不定積分はちゃんと出来ていたはずでしたが、こうしてみると怪しいものです。忘れちゃってるのかなぁ…とにかく記憶と言うのは変わってしまいがちですよね…。
では今日も１日の習慣は実施します。小さな一歩・挑戦を試みます。
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千里の道も一歩から。そしてその道は登り坂です。ローマは１日にして成らず、です。
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| ★ 習慣作りのための、小さな課題 | ☆ 昨日の実施状況 |
|---|---|
| そろばんの練習５問 (暗算の獲得) ブログ投稿後 |
宮田 輝 そろばん教室 練習問題５、６ 各５回 |
| 斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得) 朝食前 |
斜め懸垂１１回、グリップ２０回、腕立て１０回、腹筋１０回 |
| チャート式参考書１問 (物理学の数式の理解力の獲得) 朝食後９時から |
白II+B：p264 ～ p267 青I+A：できず |
| 心の筋トレ (集中力の獲得) 習慣を実行するにあたって |
今朝・７時に布団から出る：６時５８分 --- ブログの投稿 --- 昨日・朝食は台所で摂って２階へ：〇 昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：〇 昨日・理数の解法を楽しむ：× 昨日・夜食も台所で摂って２階に：〇 昨日・夜は１１時に布団に入る：１１時１９分 |
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