皆さん、おはようございます。時空 解です。

今日は積分の とある公式に付いて書いてみます。私に取ってはどうしても直感的に違和感を感じる公式なのですが…その違和感を少しでも軽減させるために、２、３の Point をここに残しておこうと思います。

まずはその、とある公式とはどんな公式か？それを示します。
面積を計算する時に役にたつ公式です。下記の積分公式が白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p278 に載っています。

\[ \int_\alpha^\beta (ax^2+bx+c) dx = -\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3 \] ただし \( \alpha,\beta \) は２次方程式 \( ax^2+bx+c \) の異なる２つの実数解。

これがその公式なのですが、皆さんはどう思われますか？

特に次の２つの点に着目してみてください。
1. どうして、左辺の２次方程式の定数 \( a, b, c \) の内、 \( a \) だけが右辺に表れるの？
2. 右辺の式にどうしてマイナスが付いているの？

これを理解するためには \( ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta) \) と言う等式が頭に描けないといけません。でも、これが分かり難いですよね。\( \alpha, \beta \) を２次方程式の解としているのですから、因数分解できるはずなので、\( (x-\alpha) \) と \( (x-\beta) \) とに分解できる事は保証されています。そのように \( \alpha, \beta \) の値を決めているのですから。でもここで おや？ と思うのは \( a \) が前に出ているところですよね。私はそう思ってしまいます。ここが 1. の着眼点です。直感的に違和感を感じる点です。
結局は、この \( a \) が括り出る事を理解するところが、この公式を理解するための大切なポイントなのだと思います。 \( a \) の符号がプラスかマイナスかによって、グラフの凸の向きも決まりますよね。2. にも関連してくるところです。
ではまず \[ ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta) \] の両辺を \( a \) で割ってみましょう。そうすると下記のようになります。 \[ x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a} = (x-\alpha)(x-\beta) \] さて、ここからが私が一番直感的に理解し難かった点です。右辺の因数分解された式の前から \( a \) が無くなりましたよね。ですが \( \alpha \) と \( \beta \) は変化していません。これは下記の２つの２次方程式の解が同じ値であることを示しています。\[ ax^2+bx+c \tag{1} \] \[ x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a} \tag{2} \] これを確認してみましょう。
まずは \( (1) \) の解ですが、これは２次方程式の解公式から直ぐに出て来ます。\[ x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \]  \( (2) \) の解も同じようにして直ぐに書くことができますよね。\[ x = {-\frac{b}{a} \pm \sqrt{ (\frac{b}{a})^2-4( \frac{c}{a} ) } \over 2} \] これを変形してみましょう。\[ {-\frac{b}{a} \pm \sqrt{ \frac{b^2}{a^2}- \frac{4ac}{a^2} } \over 2} = {-\frac{b}{a} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac} }{a} \over 2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a} \] これで \( (1) \) と \( (2) \) の解が同じ事が納得できました。これで \( ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta) \) の等式で \( a \) だけが括り出されていても、それが正しい事が確認できました。

次にどうしてマイナスが付くか？なのですが、これはグラフ上の \( y \) の値は x軸よりも下の場合、マイナスとなる事から生じます。面積にマイナスはあり得ませんよね。\( a \) がプラスだった場合、グラフとしては下に凸ですから、\( y \) の値もマイナスとなります。それで積分すると面積の値がマイナスで出て来てしまいます。これをプラスにするために、マイナスを付けているわけです。辻褄合わせですよね。

ここまで判れば、あとは \( a \) を外した積分 \( \displaystyle\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \) が成り立つ事を変形して確認してみれば、公式も理解できると思います。

皆さんも一度、確認してみて下さいね。
２０１８年３月２日、横線にて、マイナスの考察部分削除

では今日も１日の習慣は実施します。小さな一歩・挑戦を試みます。
 

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「小さな習慣」の実施状況

★ 習慣作りのための、小さな課題	☆ 昨日の実施状況
そろばんの練習５問 (暗算の獲得)   ブログ投稿後	宮田 輝 そろばん教室 練習問題 ７～１０ 各２回
斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得)   朝食前	斜め懸垂１０回、グリップ２０回、腕立て１０回、腹筋１０回
チャート式参考書１問 (物理学の数式の理解力の獲得)   朝食後９時から	白II+B：p279    青I+A：できず
心の筋トレ (集中力の獲得)    習慣を実行するにあたって	今朝・７時に布団から出る：７時３７分    --- ブログの投稿 ---    昨日・朝食は台所で摂って２階へ：〇    昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：〇    昨日・理数の解法を楽しむ：機会なし    昨日・夜食も台所で摂って２階に：×    昨日・夜は２３時に布団に入る：２３時２８分