時空 解 さんの日記
2018
3月
8
(木)
10:23
前の日記
本文
皆さん、おはようございます。時空 解です。
皆さんは、次の定積分の方程式をどう思われますか？
\( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \)
この式は積分の学習をしているとよく出で来る定番の問題のようです。白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p283 にも「定積分で表された関数の決定」と言う発展例題として、上記の等式を満たす関数を求める問題として出題されています。
この問題を理解するのに２日掛かりました。難しかったですねぇ～。
何が難しいかって、まずは \( f(x) \) と \( f(t) \) と言う関数表現に振り回されました。
何を隠そう、私は関数の表記方法をちゃんと理解してなかったのです。その事を気付かされました。
\( f(x) \) と \( f(t) \) と変数だけを別にされただけで、私は「違う関数かな？」と間違ったイメージを持ってしまっていました。
例えば
\( f(x) =ax^2+bx+c \) ( \( a,b,c \) は定数)
\( f(t) =dt^2+et+f \) ( \( d,e,f \) は定数)
と思っていたのです。
でも関数そのものが違う場合には \( f(x) \) と \( g(x) \) とかき分けますよね。
関数が違う事と変数が違う事…
この違いがわかると上記の式から関数 \( f(x) \) を決定する事ができるようになります。
\( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \)
この数式には変数が２つ出て来ます。 \( x \) と \( t \) ですよね。これが上記の問題を入れ子のように複雑にしています。ですから変数 \( t \) を取り除いてもう少しシンプルな式に変えてみましょう。
まずは \( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) の部分を \( f(t) \) に置き換えます。
なおかつ、もともとは定積分で 0 と 1 が入る変数 \( t \) のところを 2 と決定してみましょう。
そうすると下記のような式になります。
\( f(x) = 2x^2+1+xf(2) \)
この式は既にもともとの数式とは別物になってはいますが、これなら \( f(x) \) を決定する事ができるのではないでしょうか？この式から \( f(x) \)を決定する事ができれば、もともとの式の \( f(x) \) も決定する事が出来るようになると思います。
従って \( f(2) \) は -11 ですから関数 \( f(x) \) は \( 2x^2+1+x \cdot (-11) \) だったと言う事が分かります。
これでもともとの式 \( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) も見通しが付いてきたのではないでしょうか？
定積分記号で表記された数式をみると「難しいなぁ」と言う印象がありますが、定積分の上端、下端に数値が入っていれば、それは定数 ( これを \( k \) とする ) としてみる事が出来ます。
そして、上端、下端を受け取る変数は \( t \) なのだから、式 \( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) は \( x \) を積分記号の前に出すことが出来きます。
これでもともとの式の定積分の表記の部分が
\( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt = x \displaystyle \int_0^1 f(t) dt = x \cdot k \) \( k = \) 定数
のように変形できることが理解できます。
ここまで理解するのに、私は２日かかってしまいましたけどね。
皆さんはいかがですかね？
やれやれ…。ブログの投稿が遅くなってしまいましたね。すみません。m( _ _ )m
では今日も１日の習慣は実施します。小さな一歩・挑戦を試みます。
皆さんは、次の定積分の方程式をどう思われますか？
\( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \)
この式は積分の学習をしているとよく出で来る定番の問題のようです。白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p283 にも「定積分で表された関数の決定」と言う発展例題として、上記の等式を満たす関数を求める問題として出題されています。
この問題を理解するのに２日掛かりました。難しかったですねぇ～。
何が難しいかって、まずは \( f(x) \) と \( f(t) \) と言う関数表現に振り回されました。
何を隠そう、私は関数の表記方法をちゃんと理解してなかったのです。その事を気付かされました。
\( f(x) \) と \( f(t) \) と変数だけを別にされただけで、私は「違う関数かな？」と間違ったイメージを持ってしまっていました。
例えば
\( f(x) =ax^2+bx+c \) ( \( a,b,c \) は定数)
\( f(t) =dt^2+et+f \) ( \( d,e,f \) は定数)
と思っていたのです。
でも関数そのものが違う場合には \( f(x) \) と \( g(x) \) とかき分けますよね。
関数が違う事と変数が違う事…
この違いがわかると上記の式から関数 \( f(x) \) を決定する事ができるようになります。
\( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \)
この数式には変数が２つ出て来ます。 \( x \) と \( t \) ですよね。これが上記の問題を入れ子のように複雑にしています。ですから変数 \( t \) を取り除いてもう少しシンプルな式に変えてみましょう。
まずは \( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) の部分を \( f(t) \) に置き換えます。
なおかつ、もともとは定積分で 0 と 1 が入る変数 \( t \) のところを 2 と決定してみましょう。
そうすると下記のような式になります。
\( f(x) = 2x^2+1+xf(2) \)
この式は既にもともとの数式とは別物になってはいますが、これなら \( f(x) \) を決定する事ができるのではないでしょうか？この式から \( f(x) \)を決定する事ができれば、もともとの式の \( f(x) \) も決定する事が出来るようになると思います。
では
\( f(x) = 2x^2+1+xf(2) \)
から \( f(x) \) を決定してみましょう。
右辺にある \( xf(2) \) を左辺に移行します。
\( f(x)-xf(2) = 2x^2+1 \)
ここで \( f(x) \) と \( f(2) \) を同じ定数としてまとめるために \( x=2 \) とすると
\( f(2)-2 \cdot f(2) = 2 \cdot(2)^2+2+1 \)
式を整理・変形すると
\( (1-2) \cdot f(2) = 2 \cdot 4+2+1 \)
\( -f(2) = 11 \)
\( f(x) = 2x^2+1+xf(2) \)
から \( f(x) \) を決定してみましょう。
右辺にある \( xf(2) \) を左辺に移行します。
\( f(x)-xf(2) = 2x^2+1 \)
ここで \( f(x) \) と \( f(2) \) を同じ定数としてまとめるために \( x=2 \) とすると
\( f(2)-2 \cdot f(2) = 2 \cdot(2)^2+2+1 \)
式を整理・変形すると
\( (1-2) \cdot f(2) = 2 \cdot 4+2+1 \)
\( -f(2) = 11 \)
従って \( f(2) \) は -11 ですから関数 \( f(x) \) は \( 2x^2+1+x \cdot (-11) \) だったと言う事が分かります。
これでもともとの式 \( f(x) = 2x^2+1+\displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) も見通しが付いてきたのではないでしょうか？
定積分記号で表記された数式をみると「難しいなぁ」と言う印象がありますが、定積分の上端、下端に数値が入っていれば、それは定数 ( これを \( k \) とする ) としてみる事が出来ます。
そして、上端、下端を受け取る変数は \( t \) なのだから、式 \( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt \) は \( x \) を積分記号の前に出すことが出来きます。
これでもともとの式の定積分の表記の部分が
\( \displaystyle \int_0^1 xf(t) dt = x \displaystyle \int_0^1 f(t) dt = x \cdot k \) \( k = \) 定数
のように変形できることが理解できます。
ここまで理解するのに、私は２日かかってしまいましたけどね。
皆さんはいかがですかね？
やれやれ…。ブログの投稿が遅くなってしまいましたね。すみません。m( _ _ )m
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| ★ 習慣作りのための、小さな課題 | ☆ 昨日の実施状況 |
|---|---|
| そろばんの練習５問 (暗算の獲得) ブログ投稿後 |
宮田 輝 そろばん教室 見取算 ４、５ 各２回 |
| 斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得) 朝食前 |
できず |
| チャート式参考書１問 (物理学の数式の理解力の獲得) 朝食後９時から |
白II+B：p283,発展問題 178 青I+A： |
| 心の筋トレ (集中力の獲得) 習慣を実行するにあたって |
今朝・７時に布団から出る：７時２５分 --- ブログの投稿 --- 昨日・朝食は台所で摂って２階へ：× 昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：× 昨日・理数の解法を楽しむ：〇 昨日・夜食も台所で摂って２階に：× 昨日・夜は２３時に布団に入る：２３時４８分 |
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