皆さん、おはようございます。時空 解です。

今日は定積分と微分法の関係を示す１つの公式 \( \displaystyle \frac{ d }{ dx } \int_{a}^{x}f(t)dt = f(x) \) 付いて書いてみます。

この公式は白チャート「新課程 チャート式 基礎と演習 数学 II+B」の p284 の発展例題 179 を解くのにも利用するのですが、その時に「どうして下端の \( -1 \) は無視していいのかなぁ…」と、疑問が湧きました。
 

発展問題 179 には「定積分で表された関数の極値」と言う表題がついていて、その問題文は下記のとおりです。

この問題を解くためのポイントは、ズバリ、関数の増減表を書くための導関数 \( f'(x) \) を求める事です。ですので発展例題の解答には、のっけから次のような等式が示されます。

\( f'(x)= \displaystyle \frac{ d }{ dx } \int_{-1}^{x}(t^2+2t-3)dt = x^2+2x-3=(x-1)(x+3) \)

さて、この問題の答えはともかく、上の式に出ているインテグラルの下端が \( -1 \) が私は気になりました。

これって、 \( 1 \) とか \( 3 \) でも良いんですかねぇ？下端が違う数値でも、導関数 \( f'(x) \) は一緒になるんですかねぇ？

この想いが頭から離れなかったので、この問題を学習している時には、しばらくはモヤモヤとしていました。
でも実際に計算してやればはこのモヤモヤは直ぐに消えるものでした。

皆さんは直ぐにイメージが浮かびましたか？
 

情けない事に私は直ぐにピンときませんでしたので、ここにその解決方法を記しておこうと思います。
と言うことで、実際に与式 \( f(x) = \displaystyle \int_{-1}^{x}(t^2+2t-3)dt \) の下端に、 \( 1 \) とか \( 3 \) も代入して検討してみましょう。
 

まずは与式そのものを計算してみます。
 \( f(x) = \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-1}^{x}(t^2+2t-3)dt = \left[ \frac{t^3}{3}+t^2-3t \right]_{-1}^{x} = (\frac{x^3}{3}+x^2-3x)- \left \{ \frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2-3 \cdot (-1) \right \} \end{eqnarray}  \) … {} の中は \( \displaystyle \frac{11}{3} \)

次に下端が \( 1 \) の場合
 \( f(x) = \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{1}^{x}(t^2+2t-3)dt = \left[ \frac{t^3}{3}+t^2-3t \right]_{1}^{x} = (\frac{x^3}{3}+x^2-3x)- \left \{ \frac{(1)^3}{3}+(1)^2-3 \cdot (1) \right \} \end{eqnarray}  \) … {} の中は \( \displaystyle \frac{-5}{3} \)

下端が \( 3 \) の場合
 \( f(x) = \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{3}^{x}(t^2+2t-3)dt = \left[ \frac{t^3}{3}+t^2-3t \right]_{3}^{x} = (\frac{x^3}{3}+x^2-3x)- \left \{ \frac{(3)^3}{3}+(3)^2-3 \cdot (3) \right \} \end{eqnarray}  \) … {} の中は \( 9 \)
 

上記３つの式の積分の後 ( [] の後 ) の数式を比較すると、違っているのはそれぞれ \( \{ \} \) の中身だけですよね。つまり
 \( \displaystyle (\frac{x^3}{3}+x^2-3x)-C \) (  \( C \) は定数 )
と言う事ですよね。これを微分すると同じ数式 \(  x^2+2x-3 \) が出て来ます。
 

考えてみれば定数 \( C \) が変化しても、 従って下端の定数が変化しても、グラフは \( y \) 軸に沿って積分定数分上下に平行移動するだけですからね。

グラフの接線となる微分 ( 導関数 ) は同じですよね。

やれやれ、今日のブログは数式を Web 上で表記する練習に近い物になってしまいましたね。中身が少なくてすみません。

では今日も１日の習慣は実施します。小さな一歩・挑戦を試みます。

応援してね。
千里の道も一歩から。そしてその道は登り坂です。ローマは１日にして成らず、です。

(ポチッとブログ村のバナーをクリックしてね）

---

「小さな習慣」の実施状況

★ 習慣作りのための、小さな課題	☆ 昨日の実施状況
そろばんの練習５問 (暗算の獲得)   ブログ投稿後	宮田 輝 そろばん教室 加減算編 見取算問題３、４、５ 各１回
斜め懸垂１回 (ボルダリングの体力獲得)   朝食前	斜め懸垂１０回、グリップ２０回、腹筋１０回、腕立て１０回
チャート式参考書１問 (物理学の数式の理解力の獲得)   朝食後９時から	白II+B：p285    青I+A：できず
心の筋トレ (集中力の獲得)    習慣を実行するにあたって	今朝・７時に布団から出る：７時１１分    --- ブログの投稿 ---    昨日・朝食は台所で摂って２階へ：〇    昨日・机に座ったら、直ぐに学習用具を開く：〇    昨日・理数の解法を楽しむ：機会なし    昨日・夜食も台所で摂って２階に：〇    昨日・夜は２３時に布団に入る：２３時５７分