皆さん、おはようございます。時空 解です。

数学検定まで、あと２８日です。数学検定月間 ( ３０日間 ) と銘打って、７月２２日まで下記の３項目を心得に、学習を進めています。

・朝の９時１５分～１１時１５分の２時間「実用数学技能検定 要点整理 ２級」を学習する
・１日６ページ。その日に６ページ分終わらなくても、次の日は、次の予定に進む
・再学習する項目・問題をメモして行く

昨日はちょうど休日と言う事もあって「実用数学技能検定 要点整理 ２級」の６ページ以上 ( p21～p28 ) をこなす事が出来ました。でも
肝心なのは、分からなかった問題をどう処理するか、ですよね。分からな買った問題を、その日の夜までに分かるようになることです。このために「実用数学技能検定 要点整理 ２級」を通してやっているのです。
と言う事で、昨日分からなかった項目・問題を下記に示します。

始めに

p23 練習問題 ３
 $ \displaystyle \frac{ a }{ b } = \frac{ c }{ d } $ のとき、等式 $ \displaystyle \frac{ a }{ b } = \displaystyle \frac{ 3a+c }{ 3b+d } $ を証明しなさい。

この問題に解答するためには、式の変形を楽にする一工夫が必要です。それは、分数と言う煩わしい形を文字 ( 例えば $ k $ ) に置き換える、と言う方法です。 \[ \displaystyle \frac{ a }{ b } = \frac{ c }{ d } = k \] こうすると式の変形をする方向性の見通しがスッキリとしてきます。

 $ \displaystyle \frac{ a }{ b } = k $ より $ a = bk $ (1)

 $ \displaystyle \frac{ c }{ d } = k $ より $ c = dk $ (2)

右辺 $ \displaystyle \frac{ 3a+c }{ 3b+d } $ に上記の (1), (2) を代入して変形すると、$ \displaystyle \frac{ 3bk+dk }{ 3b+d } = \frac{ k(3b+d) }{ 3b+d } = k $

従って 等式 $ \displaystyle \frac{ a }{ b } = k = \frac{ c }{ d } $ 

証明終わり。
この答えをテキストで見た時に、最初私は「こんなんで証明した事になるのかぁ？」とちょっとしっくりきませんでしたけどね。皆さんは如何でしょうか？

では次

p27 応用問題 ２
$ \sqrt{ 3 } $ が無理数であることを用いて、$ 1+\sqrt{ 3 } $ が無理数であることを証明しなさい。

これは背理法に慣れるための問題、と言った捉え方で私は考えました。
とにかく背理法に慣れることでしょう。
背理法で解く、ということは問題文をどう解釈して、それをどう変形して解くのか？それを意識しました。
前提はなにか、を明確にします。この問題の場合は " $ \sqrt{ 3 } $ が無理数である" です。その前提から導かれている結果は " $ 1+\sqrt{ 3 } $ が無理数である" ですよね。ですから、この導かれている結果を否定します。
"$ 1+\sqrt{ 3 } $ は有理数である" として、これを扱いやすいように $ a $ に置き換えます。これは分数を一つの文字に置き換えるテクニックと同じですね。 \[ 1+\sqrt{ 3 } = a \] これを変形すると \[ \sqrt{ 3 } = a-1 \] を得ます。この右辺に着目すると、有理数 $ a $ と仮定した数から $ 1 $ を引いている訳ですから、右辺は有理数のはずです。それが無理数と言う前提の $ \sqrt{ 3 } $ とイコールで結ばれているので矛盾します。
証明終わり。
この答えも、テキストで見た時にしっくり感がなかった私ですけどね。でもこうやって証明するのだと言う事を受け入れる事にしました。これが学ぶと言うことですよね。


では今日も１日の習慣を始めます。小さな一歩・挑戦を試みます。

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