皆さん、おはようございます。時空 解です。
 

素数に関する研究って、現代でも行われているのですね。まぁ当たり前かも知れませんが、素数って古代ギリシャ時代から研究れさていますからね。無限に存在する、と言うことはユークリッドが古代ギリシャ時代に証明しています。そんな事もあってずいぶんと古いイメージがあるんですよね。それに素数は学生時代に学ぶ訳ですから、自分自身の人生からみても古い物だと言うイメージが沸くのかも知れませんね。

でも、こんかいご紹介する定理、グリーン・タオの定理は、２００４年に証明された定理なんですよ。

皆さん、驚きませんか？

マスペディア 1000 の 168 番目に書かれているこのトピックを読んで、正直な気持ち「つい最近の事じゃん！」と言いたくなりました。
それに、この定理は切り口が面白いです。Wikipedia に載っている解説の一文を引用してみても分ると思います。

素数の列は任意の長さの等差数列を含んでいる

素数と等差数列の関係に想いを馳せているのです。面白いですよね。
また、その結果も面白いです。マスペディアのこのトピック ( 168 番目 ) に掲載されている一部分をご紹介しましょう。

本書を書いている時点では、素数の最も長い等差数列としてしられているのは、ベアノ・ペリションがプライムグリッドの一端として発見したものだ。長さが 26 、初項が 43142746595714191 で公差 5283234035979900 だ。

面白いですよね。長さが 26 とありますが、これは等差数列の項数が２６個あると言うことです。( 私は始め、長さってなんだろうなぁ…？と悩みました (^^; )

グリーン・タオの定理は私と同年代の方は知らない方が多いのではないでしょうか？だってついこの間出来たばかりの定理なのですからね。これを知っていると言う事は、仕事か何かで数学に接っしていないとね。知り得ません。

ついでに ( と言ってはなんですが… ) 素数が無数に存在することの証明、に付いても、つい最近の証明があることを知りました。驚きました。
Wikipedia に載っていますね。2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明です。

$ n $は2以上の整数とする。$ n $ と $ n + 1 $ は互いに素なので、 $ N2 := n(n + 1) $ は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、 $ N2 $ と $ N2 + 1 $ は互いに素なので、 $ N3 := N2(N2 + 1) $ は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。

では今日も休日を始めます。休日の充実こそ、人生の充実です。