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時空 解 さんの日記

 
2021
2月 16
(火)
09:50
ベクトルの内積、ここが高校時代にも納得が出来なかったところ
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

高校で習うベクトルなんですが…このベクトルには2つのもの、大きさと向きを表しています。そして、この大きさと向きを扱うのに位置ベクトルと言う名のもの、座標と対応させて成分表示なるものも導入されます。

でも、ここらへんまでは高校生だった頃の私にもすんなりと受け入れられたのですが…でもですね…うーむ

今日の朝に数検2級のテキストに「ベクトルの内積」が出てきて思い出しました。
高校生の時にも頭の中に「?」マークが浮かんだんでしたけって…。

この「ベクトルの内積の定義」って、いったいどんなメリットがあるんですかね?
(まぁこれはどんどんと学習を進めて行くと分ることなのだろうと、予測は付きますが…)

・ベクトルの内積のところで思う疑問
$ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \left| \vec{ a } \right| \left| \vec{ b } \right| \cos \theta = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 $

どうしてこの $ \left| \vec{ a } \right| \left| \vec{ b } \right| \cos \theta = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 $ を等しいとしているのですかね?
実際に図形的・空間的に長さとかが等しいのでしょうか?…でも掛け合わせる長さの実態は分かりますが、掛け合わせた結果はなんなのか視て取れないもので、どうイメージしたら良いのかが疑問なんです。汗

チャート式数学Bには、内積と関連して正射影ベクトルなんてものも出て来ますけどね。
そこの分部を読んでみてもややこしい話に進んで行くだけです…

でも学習していかないとね。高校時代と同じようにここで立ち止まってしまうと電磁気学を正しく理解できないと思いますから。
うーむ…会社に勤めながらの学習には限界がありますかね?学生の時に勉強しておけば良かったと後悔するばかりです…。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(163)
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投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/2/17 17:18  更新日時: 2021/2/17 17:18
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2084
 RE: ベクトルの内積、ここが高校時代にも納得が出来なかったところ
安藤商会さん、さっそくのコメントありがとうございます。

・「2乗」するという行為は中身の正負に関わらず結果は「正の値」 

なるほど、こう言った考え方も鋭いですね。参考になります。この方向から理解を進めてみます。
…自分自身で納得に行く解釈に辿り着けるよう頑張ってみたいと思います。

でも、本当にこんなことをやっていたら時間が足りないですよね。

なにか疑問が湧いて来たら、青チャートやネットを検索して…そこでまた何かにハマる。そんなことを繰り返すと時間が掛かってしまいます。
この辺を上手く切り抜けられないところが「学習が下手くそ」なんだろうかなぁ… ( ^^;

やっぱり「まずは一通り」と言うことを実行出来ないといけないのでしょう。
「記述式演習帳2級」と「要点整理2級」に絞って時間を無駄遣いしないように頑張ってみます。

ではでは
安藤商会
投稿日時: 2021/2/17 15:08  更新日時: 2021/2/17 15:08
新米
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 13
 RE: ベクトルの内積、ここが高校時代にも納得が出来なかったところ
'
絶対値の2乗に対する疑問。

なるほど…やはり人によって疑問もそれぞれですね。

「2乗する」という行為そのものが、「強制的に値の符号を正にする」という意味があります。

「統計」の「分散」を求める場合でも、各データーと平均の差を2乗することで、負の値を正に変換し足し算が可能になります。

通常は 絶対値記号を外す時は、中身の正負で場合分けが必要ですが、「2乗」するという行為は中身の正負に関わらず結果は「正の値」ですから、絶対値記号など意味が無くなるので通常の括弧に戻すのでしょう。

数学の問題を解く過程で行う「式変形」は、できるだけ単純な四則計算に形を変える為に行うので、「絶対値記号」等の余分な機能の付いたものは「早く消したい」ですからね。

変数(XYZなど)はなるべく少なくしたいし、高次式の次数は下げたい、分数は約分したいし分母の√は有利化したい…。

その流れで「絶対値記号も場合分け無しで外したい」という事で、「2乗」するという行為が、ベクトルの計算では良く出てくるのでしょう。

ベクトルは2乗すると通常の数に戻りますしね。

時空解さんの「どうして絶対値記号を2乗すると、展開した式は通常の括弧になるのか?」という疑問の答えは、逆説的に言えば「絶対値記号を消すために2乗しているからだ」になると思います。

あくまで私の個人的な見解ですから、全然良い解答ではありませんが、参考までに…。

4月の数検個人検定まで、残り2ヶ月ありません。社会人の学習時間など、学生に比べると無いに等しいです。

受験するのは2次検定のみですから、テキストの要点整理は「2次重要」のみ復習し、メインは「記述式演習帳」だと思います。

実際に「記述式演習帳」に掲載されているのとそっくりな出題が多いですから。

そして、2次検定の「合否」を分けるのは、言わずと知れた「記述表現能力」です。

いくら問題が解けても、記述で大量に減点されては受かりません。

「青チャート」などの分厚い本に時間を掛けて取り組んでいても、年老いて「記憶能力」の衰えた私達には、残念ながらほとんど学習効果は期待できないでしょう。

問題の解法どころか、それを学習した事すら記憶に残りません。

ですから、「周回数が稼げる学習教材」を選択し、可能な限り「復習頻度を上げる」学習方法を構築し直さないと、今後の数学力のレベルアップは困難だと思います。

先日のブログに時空解さんも書いていましたが、「数学検定要点整理 各級」は題名通り、上手く学習の要点がまとまっていると思います。

そして、2次検定にもっとも効果的なテキストは、やはり「記述式演習帳 各級」でしょう。

調べたところ、どちらもラインナップは「準1級」までのようです。

ですから「数検準1級取得」までは、普段の日常行っている学習も、前記の2冊をメインとして周回される事を強くオススメします。

数検監修のテキスト類は、解説が詳しくなくて理解に苦しむ事も多いですが、そのような時には「ネット」の情報や「チャート」を参考書にすれば良いと思います。

ですが、あくまでも「数学検定受験者」という身の上であるうちは、メインのテキストは「要点整理と演習帳」の2冊です。

ですから「他所に行ったきり」にならずに、必ずこの2冊に戻って下さい。

最低でもこの2冊を完成させないと、「数検合格」は無いと思います。

私のように「何回も受けてたら合格しちゃった…」ではなく、時空解さんにはチャント手応えを感じて合格して欲しいです。
時空 解
投稿日時: 2021/2/17 8:33  更新日時: 2021/2/17 8:42
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2084
 RE: ベクトルの内積、ここが高校時代にも納得が出来なかったところ
おはようございます、阿藤商会さん。

2つのブログに渡ってコメントを頂きありがとうございます。そして下記のサイト、とても良い内容のサイトですね。

なぜ内積は成分同士をかけて足すのかを図解してみる

内積の2つ、$ \vec{ a } \cdot \vec{ b } $ が $ \left| \vec{ a } \right| \left| \vec{ b } \right| \cdot \cos \theta $ と $ a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y $ がどうして等しいのかが明確に分かりますね。

これで完璧です。   …確かに完璧にイメージできました。

でもですね。

実はこのサイトページ、2019年3月21日のブログで紹介していたんです…。完璧に忘れていた私です。
ベクトルの内積、まずはこの問題ができると良いね

2年前の話です。
内積の説明をしているサイト運営者の 迫 佑樹 (さこ ゆうき)さんの事は良く覚えているんですが、その内容、内積の説明の方はトンと忘れていました。
安藤商会さん、ごめんなさい。m( _ _;)m こんな不甲斐ない私です。

当時の自分の気持ちを想い起こしてみると、実はブログを投稿することに気持ちの焦点が有って、内積の内容理解に気持ちが入っていなかったのだと思います。
「あ、これなら今後は直ぐに解るな」
と言ううぬぼれた気持ちも有ってか、その後見直すことを怠ったのでしょう。

当時のブログに書かれている2つ目の疑問
・どうして $ { \left| \vec{ a } - \vec{ b } \right| }^2 $ は $ \left| \vec{ a } - \vec{ b } \right| \cdot \left| \vec{ a } - \vec{ b } \right| $ ではなく $ ( \vec{ a } - \vec{ b } ) \cdot ( \vec{ a } - \vec{ b } ) $ なのか?

これについてもその後、放置? (もしかしたら YouTube の fx JP900 015 l -5i l を試してみよう で解決している気もしますが…) している気もします。
これからベクトルの学習を進めて、ハッキリさせてゆきたいと思います。

復習をしないとドンドン忘れてしまいますね…また一つ良い教訓を得ました。

ではでは…いつもコメントありがとうございます。いつも助かっています。
安藤商会
投稿日時: 2021/2/16 18:41  更新日時: 2021/2/16 18:41
新米
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 13
 RE: ベクトルの内積、ここが高校時代にも納得が出来なかったところ
'
こんにちは。

「ベクトルの内積」については、こちらが図形的に分かりやすいと思います。

『なぜ内積は成分同士をかけて足すのかを図解してみる』
https://www.yukisako.xyz/entry/inner_product

内積とは「2つのベクトルが作る長方形の面積だ」という観点で説明されております。

とても分かりやすいと思います。

「正射影ベクトル」も、昨日の「反復試行の確率の計算式」と同じで、単純なことを学問的な言い回しをしているだけだと思います。

片方のベクトルの先から、もう片方のベクトルに下ろした垂線の足が接する位置の、原点からの距離(長さ)の事ですからね。

内積をどちらか片方のベクトルの絶対値(長さ)で割っただけの値なので、「正射影ベクトル」というのも、言葉の見かけ倒しの気がします。

ベクトルと電磁気学についての、物理的な関係は私には分かりませんが、「数学としてのベクトル」には、とても興味深いものがあると思います。

たしかに、初めてベクトルを学習したときには、

「これって数学なのかぁ…? 物理で学ぶ分野では…?」

と思いましたが、ベクトルを単なる「力と方向」という観点から離れ「いくつもの情報量を1つの記号で表している」と考えると数学ですよね。

独特の計算法も、それまでの数学とは違って新鮮だと思います。

数学の垣根を超えて「情報学」として扱えるものなのかもしれません。

数学検定2級2次試験では、「内積=0なら2つのベクトルは垂直交差」を利用する問題が、昨今多く出題されていたと記憶しています。

4月の「数学検定・個人検定」頑張って下さいね!!

応援しています。

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