ページのトップにスクロール

Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学検定  >  実用数学技能検定要点整理2級 の「7-2 ベクトルと図形」に入りました。気になる問題が一つ…

時空 解 さんの日記

 
2021
2月 21
(日)
09:46
実用数学技能検定要点整理2級 の「7-2 ベクトルと図形」に入りました。気になる問題が一つ…
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

「実用数学技能検定要点整理2級」 の「7-2 ベクトルと図形」へと学習を進めています。
ここで気になる出題が一つ…

p149 に載っている「1次 重要」と示された下記の問題です。

この問題の「考え方」のところに 角の二等分線の性質 を利用すると書かれていますが、"角の二等分線の性質" と言う文字列の掲載は、このテキスト内には、この問題と、後の練習問題にしか出てこないのです。
解説が無いんですよね。汗 (アクロバットファイル内上で文字列検索した結果です)
内分点や外分点を求める公式の解説は check! としてまとめられていますけどね。

やはり図形となると、青チャート式数学Aに載っている定理1から定理18を一通り見ておいたほうが良さそうですかね?
(ちなみに、定理1が角の二等分線の性質です)
2級の過去問を調べてみないと何とも言えないことですけどね。
でも定理1~18と言うのは、私がちょうど学習していたところだったんです。対応する青チャート式数学Aの基本例題・重要例題は 基本例題64~90 になるでしょうかね…。

ここで定理1~18を書き並べられると良いのですが、今は時間がありませんので、また何かの機会に…。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(502)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/2/22 22:10  更新日時: 2021/2/22 22:10
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2202
 RE: 実用数学技能検定要点整理2級 の「7-2 ベクトルと図形」に入りました。気になる問題が一つ…
こんばんは、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

今日の朝にコメントを確認していましたが、すみません。ちょっと時間配分を失敗して、会社へ出勤する前に回答を書く時間が取れませんでした。
m( _ _ )m

二等分線の定理は、中学で習うものだとは気が付いていませんでした。うーむ…中学の時は特に図形問題が得意だったので、覚えていて当たり前なんでしょうけどね…二等分線の定理の証明を見て、きっと中学の時には「当たり前だなぁ…」ぐらいのノリで考えていた可能性があります。

この歳になって、なんだか二等分線の定理も当たり前に思えない自分に驚いている次第です。
1、2年前にも 青チャート式数学Aの第3章:図形の性質 には目を通した記憶はあります。この時は「二等分線の定理ってなかなか難しいなぁ」なんて想っていた記憶はあるんですよね。

今となっては、補助線として平行線を引いて分かるようになりました。

ではでは。
安藤商会
投稿日時: 2021/2/21 14:33  更新日時: 2021/2/21 14:33
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: 実用数学技能検定要点整理2級 の「7-2 ベクトルと図形」に入りました。気になる問題が一つ…
'
こんにちは。

「…角の二等分線の性質を利用する…解説がない…」

との事ですが…。

確かに『数検2級のテキスト』には、解説は載って無いかも知れないですね。

解説を省いているのは、中学生で習う内容だからでしょうね。

『三角形の二等分線の性質は中学数学で習う基本的で重要な性質です』
http://www.mathlion.jp/article/ar133.html

確かに一般的な説明はややこしいので、久しぶりに証明しようとしても直ぐにはできないと思います。

厳密な証明ではありませんが、私が便宜的に使っている直感的な解釈を書いてみます。

三角形ABCが辺ABと辺ACが同じ長さ(仮に10センチと過程)の二等辺三角形と過程します。

角Aの二等分線をと対辺BCの接点を点Dとします。そしてそのまま二等分線をさらに延々無限と伸ばし続けておきます。

辺BDとCDは同じ長さになるのは、見ればわかるので証明は無しで長さの比は「1:1」。

この「1:1」という比の数値は、辺ABとACの長さの比でもありますから、二等分線の性質で語られる、『 AB:AC = BD:CD 』は、二等辺三角形では直感的に理解できます。

さてここで、角Bと角Cを直線で結んだまま、辺ABの長さをホンの少しだけ(2ミリ)伸ばしてみます。ACはそのまま10センチです。

見た目はほとんど変わりませんが、辺ABが10.2センチになった事で、三角形は二等辺三角形ではなくなりました。

ですから「 BD:CD 」の比も「 1:1 」ではありません。

比の値が先ほどから、どれくらい変化したのだろうと考えると、「 1:1 」から急に「 3:1」とか「 5:1 」に変わっているでしょうか?

三角形は外観がほどんど変わっていないので、「 BD:CD 」の長さだってほとんど変わってないから、比の値も大きく変わっていないのは見れば分かります。

ですか、「 1:1 」でなくなったのは確実に言える事です。

今度は辺ABの長さを最初の10センチから2倍に伸ばして20センチにします。ACはそのまま10センチです。

三角形の外観は大きく変化しますから、「 BD:CD 」の長さの比も大きく変化します。

ここで「数学的直感」を働かせて考察します。

三角形の辺の片方を少し伸ばせば「 BD:CD 」の比は少し変化して、たくさん伸ばせば大きく変化する。

この変化の割合は、三角形の辺の長さに連動しているのは明らかなので、整合性が取れた秩序が存在するはず。

在るとするならば、それなら「三角形の2辺の長さの比」と考えるのが一番自然だろう…。

やや強引な考えかたですし、厳密な数学的な証明にはなっていません。

ですが、直感的にはこれで充分ではないでしょうか?

はっきり覚えてないですが、『数検要点整理2級』にも、この性質を利用した問題が他にも掲載されていた気がします。

数検ではこの性質と「方べきの定理」を利用しないと解けない問題が、過去に良く出題されております。

「角の二等分線=三角形の両斜辺の比と底辺の内分比は等しい」

と記憶しておいたほうが良いと思います。

コメントを書く
コメントを書くにはログインが必要です。
メインメニュー
ログイン
ユーザー名:

パスワード:



日記投稿者リスト
カレンダー
月表示
カテゴリー
にほんブログ村リンク