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時空 解 さんの日記

 
2021
2月 26
(金)
10:05
再び、数学の学習から何を学ぶか…
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

ちょっと調べたらほぼ三年前に、ベンチャミン・リベットの「マインド・タイム」と言う書籍にふれた記事を投稿していました。

数学の学習から、何を学ぶか…

当時、数学から何を学ぶか、何が学べるか?を考えていました。
ですが、こんな私ですからね。汗

そんなだいそれたことを意見するほど知識は豊富ではありませんし、知能指数も高くはありませんので、下記の3つのポイントを書き並べるだけに留めています。

・分割
・記憶
・組み合わせ

でも、今回 数学の学習方法について興味深いご意見を会員の方からこちらの「コメント」に頂きました。

その学習方法とは
・「複雑な問題は、正確に記憶すると解けるようになる」

と言うものです。
記憶するのは「解答」の方ではなくてむしろ「問題そのもの」の方だと言うものです。
これってなかなか気が付けないですよね。

このコメントを頂いた時点で、再び「数学の学習から何を学ぶか」と言うことを考えさせられました。
その考えを昨日の問題を例に、改めてここに書いてみようと思います。

左の問題のポイント

・重心の位置ベクトルの公式
・4点が1平面上にある時、1点を他の3点で表す位置ベクトルの等式
・平行な2つのベクトルは、整数倍すれば等式で結べる
・1次独立の利用

結論を先に書くならば
「記憶が明確でなければ、その後の組み合わせも明確ではなくなる」
と言うことですね。
組み合わせが明確ではなくなると言う意味は、つまり昨日の問題に対して4つのポイントが明確に浮かばないと言うことです。
(上記の私のポイントの箇条書きも、すでに曖昧さが含まれています。数式で書くのがいいかも…)
4つがぼんやりと浮かんでも、ぼんやりとしているから組み立てる時に「4つをキチンとかみ合わせられない」と言う状態になるでしょう。

考えても見て下さい。例えば4つのポイント一つ一つをそれぞれ使う例題を4問作ったとしましょう。
その問題をまずは解く。
その後に4つの内の2つを使う例題…3つのを使う例題…4つすべてを使う例題…そして4つを使うか使わないか分からない例題…

こうして眺めてゆくと、数学の問題が解けると言うことは「解法が分かる = 一つ一つの問題を正確に暗記している」と思えて来ませんか?

チャート式数学を例にとると「分割」「記憶」「組み合わせ」とどう対応するのか? 私ごときが畏れ多いことですが書いてみます。
「分割」に対応するものは直ぐにピンとくると思いますが、数学と言う学問を一つ一つの基本例題・重要例題に分割する作業、ですよね。
この分割の仕方がすぐれているからそこ、チャート式数学参考書はベストセラーなのだと思います。(まぁ問題の数も多いですが)

ですから「分割」は学習に使う参考書を手にした時点で完了していることになります。
(数学の学習内容が良いものになるかならないかは、まずは参考書選びと言う事にもなりますが、最近ではそれほど大差はないと思います)

「記憶」は分割の良し悪しで決まってきますよね。ポイントが良く分かる小さな塊は覚えやすいです。ここで重要なのが「解法」を覚えるよりも「問題そのものを暗記する」と言うことです。「何に付いて考えるのか?」の方が、実は思考が明確になると言うことですね。「考え方」を覚えようとしても、それはイメージですからね。そのものを覚えようとしても、明確では無くなって行く気がします。

明確に覚えた一つ一つは「組み合わせる」時に分かり易いです。しかも明確に覚えた一つ一つから思考が明確に浮かぶと言うことですからね。明確に考えが進められます。
一般的に言えば、数学を学習すると言う事は「組み合わせる」能力を鍛えることのように想いがちです。
でも、組み合わせ方を覚える行為では、その能力を伸ばすことにはならないのですよね。

ポイントは
「組み合わせる材料の一つ一つに思考が結びついている。だから明確に組み立て方も手探りできる」
と言う点にあるのだと思います。

まぁ目の前に組立パズルのピースがあればケースに入れる組み立て方は、手に取って試行錯誤できますが、ピースを触らずに出来る人は少ないでしょう。まぁ目隠し将棋が良い例かもしれません。

数学を学んでいると、どうしても「思考する」方に気持ちが集中しがちですが、上手く分割された一つの問題そのものを「正確に暗唱する」。そして「2つの問題が組み合わさった問題そのものを正確に暗唱する」…「3つの問題」…4つの問題」…この連鎖が正しい思考を形作るのだと言えるのかも知れません…

今日はこんなことを考えました。
会員の方、コメントありがとうございます。正しく解釈できていないかも知れませんが、またお時間がありましたらご意見を頂けたらと思います。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(436)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/2/26 23:12  更新日時: 2021/2/26 23:12
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2197
 RE: 再び、数学の学習から何を学ぶか…
こんばんは、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

お時間を取って頂きありがとうございます。なるほど!分かりました。

 私が想い描いた学習法とは、かなり違う形のものでしたね。( ^^;

でも、これで良く分かりました。
確かにテスト範囲の全てのカテゴリーの中から一つ良問を選んで、それを正確に暗記する!と言うのは良いアイディアですね。

私は一つのカテゴリーを一通りやって「シッカリと理解したい」と言う気持ちが先にでてしまっています。この学習方法はそれとはガラリと違いますね。

 うーむ… すべてのカテゴリーから、まずは一つずつ選んで、しかも問題だけを暗唱する…ですね・・思い付きませんでした。

今回のコメントを読むまで、実は会社で仕事をしながらも「問題を正確に暗記する」と言うことに付いて考えていました。

その時に思っていたことは
「そもそも数学と言う学問体系が出来上がったのも、もとはと言えば "問題ありき" からだからなぁ…。円周の長さと直径の長さの比はどうとか、ちょうど体積が2倍になる墓石を造るには一辺を何センチにするかとか…」
なんて考えです。

結構、まと外れでしたね。( ^^;

新たに想い描いたイメージは「カテゴリーと言う引き出し一つ一つに、一個、シッカリと取っ手を付ける」と言った感じでしょうか。
(また、的外れでしたらごめんなさい。( ^^;  )

とにかくお時間を取って頂きありがとうございます。とても参考になります。ここを覗きにきてくださっている方達にもとても良い情報かと思います。

いつもありがとうございます。 ( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/2/26 17:22  更新日時: 2021/2/26 17:22
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: 再び、数学の学習から何を学ぶか…
'
こんにちは。

昨日のコメント内容をこれほど詳しく考察して記事にして下さり、大変恐縮です。

では、「問題を暗記する」という学習方の具体的な部分について書いてみたいと思います。

時空解さんが普段行っている学習の仕方とは、正直かなり異なっている…正反対とも言える内容だと思います。

「嫌悪感」すらいだくかもしれませんが…。その辺りは参考までに読んでみて下さい。

学習内容を「数学検定2級2次検定」に絞って話します。

ちなみに、いわゆる「計算問題」などは実際に手を動かさないと意味がありませんから、「問題を暗記」する学習法には向かないと思います。

「漢字検定」などの暗記主体の教科は、問題暗記など効果は無いと思います。

「数学検定2級2次」で出題される単元(カテゴリー)を、まず取り出してみます。

「2次関数」「指数・対数」「三角関数」「場合の数・確率」「数列」「ベクトル」「微分・積分」

大きく分けると上記の7つになると思われます。

「式の計算」「整数」「統計」などもありますが、それらは重要な柱には成らないと思って省略。必要だと思うなら付け加えてもいいでしょうね。

「指数・対数」「場合の数・確率」「微分・積分」などは、各単元として2つに分けてもいいのですが、とりあえずは1つの単元として扱いました。特に苦手なら、2つに分けてしてもいいでしょうね。

この7つの各単元で、それぞれ「1問が3問くらいに匹敵する内容の濃い問題」を、「各1問ずつ」選択します。

ここで、たぶん時空解さんがやってしまいそうな失敗を、先に書いてみます。

「中身の濃い問題など、青チャートの中にはたくさん在る。1つずつではなく各単元5問くらい選択しよう…」

これは駄目でしょうね。

全てで「5✕7=35問」になります。一度に暗記できません。多くても各単元2問選択で14問が限界でしょう。

1問ずつ選択したら、問題に題名「〇〇○・□□□…」を付けます。適当に自分だけが分かればいいのです。

今回の記事にあるベクトルの問題でしたら「四面体重心」などと言った簡単でいいのです。

名前を付けた問題を単元名と合わせ、紙に書いたりデジタルテキストにしたりして、何らかの方法で記録します。その後に全て頭で記憶します。

「二次関数 ○○○」「指数・対数 □□□」…「ベクトル 四面体重心」…「微分・積分 ◇◇◇」

ここまでは、誰でもすぐにできます。7つの単元と題名だけを覚えるのですから。

ここまでは、書籍でいったら「目次」です。

この後に問題の中身を何らかの方法で記録します。とりあえずは解法や解答も正確に記録しますが、大事なのは問題の方です。

その後に頭に記憶します。元になったテキストと一字一句違わないようにするのはもちろんですが、数値の設定や条件、グラフや表なども正確に記憶します。

解法や解答は記憶しなくても良いです。

たった7問ですが、問題の内容を正確に記憶するのは結構大変です。ですから各単元1問ずつが良いのです。

これで準備が整いました。ここからは、実際の活用を書きます。

まずは、チョッとして時間の合間に「目次」を頭の中で思い出してみます。途中で分からなくなったり忘れてしまったら、記録を見て確認します。

あくまでも「記憶」を頼りに思い出すのでから、最初から「記録」を見ては意味が無いです。

そして、目次の頭から順に問題の内容を思い出してみます。記憶に自信がないようなら記録で確認します。

思い出した問題自体は解く必要は無いです。次々に思い出してみます。これを繰り返します。

一度に全ての問題内容を思い出す必要は無いですが、「目次」は頭から最後までを「1つ」としますから、全て思い出す必要があります。

これは「現在これだけの問題に取り組んでいるのだ」という確認のためです。学習がアチコチにブレてしまうのを防止するためでもあります。

近くに紙とペンがあり筆記できる状態なら、思い出した問題の内容を書き出し、記録で確認するのをオススメします。

実際に問題を解くのは学習時間中のみです。

学習時間以外で解こうとすると思い出す事自体が嫌になり、思い出すという行為自体をしなくなります。

あくまでも「問題を思い出すだけで解くのは別の機会」にする事で、永く継続できるのです。

そして、実際にスラスラ解けるようになったらその問題は終了。別の問題を選択し直します。

ですが、一度に7つの単元の問題全てを入れ替える事は無いと思います。

ここまで読んだだけでは、かなり進行が遅い学習法な気がします。

確かに1つ1つの単元での進行スピードは遅いかもしれませんが、全ての単元を同時進行で学習しているので、全体での復習効果は高いのです。

今までの時空解さんの学習を見ていると、

「1つの単元の学習に掛ける時間が長過ぎてるせいで、その前に学習した単元の内容を次々に忘れていく…」

という傾向を強く感じます。

現在はベクトルを復習していますが、すぐ前に学習していた「場合の数・確率」の問題は、もぅすでに大半の問題が解けないのかもしれません。

ある1つの単元から長い期間離れては駄目なのです。必ず忘れます。

いくら現在取り組んでいる単元を詳しく掘り下げても、それに時間を掛けすぎては私達のような年輩学習者には「とても前の記憶が持たない(泣)」のです。

実際の検定試験では、出題は何の導入も無く広範囲から「単発でパッと」出されるのです。

少なくとも、ある単元の問題を1ヶ月も2ヶ月も全く解かないどころか、見もせず思い出す事すらしない…という今の学習スタイルでは、目標である「数学検定1級取得」はかなり困難だと予想できます。

ですから、今回の記事にある「ベクトルの問題」のような、たった1問でも中身の濃い「良問(私基準の)」を各単元から選び出し、同時進行で学習(復習)を進めるしかないのです。

そして、現在取り組むべき問題の内容を暗記する事こそ、各単元同時進行の復習を行うには、まず一番最初にしなければいけない事だと思います。

かなり長くなりましたので、この辺りで切り上げます。

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