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Home  >  ブログ  >  時空 解  >  数学  >  $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の漸化式から一般項を求める方法、3つあるんですね

時空 解 さんの日記

 
2021
3月 23
(火)
09:32
$ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の漸化式から一般項を求める方法、3つあるんですね
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

さて、今日は昨日の続きのようなものですが、青チャート式数学Bでは、漸化式を4つのパターンに分類していますね。

・$ a_{n+1} - a_n = d $    → $ a_n = a_1 + (n-1)d $   …等差数列型
・$ a_{n+1} = r a_n $     → $ a_n = a_1 r^{n-1} $       …等比数列型
・$ a_{n+1} = a_n + f(n) $   ( $ f(n) $ は階差数列の一般項) …階差数列型
・$ a_{n+1} = pa_n + q $ 型

この4つのうちの最後の型の一般項の求める方は、3つあることを把握しました。今日の朝にやっとこさっとこ青チャート式数学Bに目を通すことができて、認識できた次第です。

うーむ…本当にややこしい。

認識できた今日にでも整理しておかないと、また分からなくなってしまいそうです。汗

ですからブログに整理しておこうと想いました。…簡単にですけどね…。

(1) $ a_{n+1} = p a_n + q $ と $ \alpha = p \alpha + q $ の2つの式から等比数列型に持ってゆく解法
(2) $ a_{n+1} = p a_n + q $ と $ a_{n+2} = p a_{n+1} + q $ の2つから $ a_{n+2} - a_{n+1} $ より階差数列型に持ってゆく解法
(3) $ a_{n+1} = p a_n + q $ に $ n=1,~2,~3,~ … $ を代入して実際の数列を書き出し、予測できる一般項式、を数学的帰納法で証明する解法

いやはや、この3つをすべて自在に操れるようになると、もう高校数学の数列は自分の物になった気に成れますかね?

でも自由に操つためには…私には訓練が必要ですね。( ^^;

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(118)
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投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/3/24 19:37  更新日時: 2021/3/24 19:37
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2170
 RE: $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の漸化式から一般項を求める方法、3つあるんですね
こんばんは、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

学習方法をいろいろと探られている様子ですね。とても刺激になりますよ。

それと、今でも10年前の後輩の「呆れたような目」を思い起こされるんですね。それはショックでしたね。貴重な体験を書いて頂き、恐縮しています。
ここのサイトはもしかしたら高校生も覗きに来ている様子です。きっと若い人たちにとっても貴重なお話だと想いますよ。

この場で宜しければ、また書きたい事を差支えの無い範囲で書いてみて下さいね。

では、簡単ではありますが今日もコメントありがとうございます。
これからも一緒に頑張って行きましょうね。( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/3/23 14:45  更新日時: 2021/3/23 14:45
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: $ a_{n+1} = pa_n + q $ 型の漸化式から一般項を求める方法、3つあるんですね
'
こんにちは。

やはり数列は、「図表・グラフ」を利用し視覚化して解けないから難しいです。

「(3) …を代入して実際の数列を書き出し、予測できる一般項式、を数学的帰納法で証明する解法…」

数学検定では、この(3)の解法を使った、「数列の一般項の式を数学的帰納法で証明」する選択問題が良く出ますね。

「数検準一級」も、数列から出題されるようですので、最近の記事はとても勉強になります。

これからも、学習された内容は「備忘録」としての役目を兼ねて、記事にしていただけると嬉しいです。

昨夜、「わんこら式数学」という動画チャンネルを偶然見つけました。

『京大生、数学科の休日(再現)』
https://youtu.be/ebuXdu0rATA

『僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…』
https://youtu.be/aWPAHRsCU_Q

大学の数学が難し過ぎ、ノイローゼで引きこもりになり、留年を繰り返したそうです…。

ブログを永く続けているというので、少し読んでみました。

「わんこら日記」
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html

数学の勉強法について書いてみえました。

どこか、自分が普段行っている勉強の仕方と似ている気がしました。

特に、「2、無理やりページを進める」「5、適当にやれば次へ!」などは、自分は今もまったく同じ事をしてます(笑)

まぁ…私の場合、40歳過ぎた中年のオッサンなのに、算数レベルの能力しかありませんでしたから、数検を受験しはじめた時もそんな勉強方法しかなかったのです。

「完全に理解してから先に進む」なんて事は不可能だったので、必然的にそうなっただけですが(汗)

そう言えば…前職でこんな事がありました…。

会社の資料の中に、このような「(a + b)(c + d)」という簡単な文字式が表記されていました。

もちろん今は分りますが、その時の私は、コレが「乗算」を表しているという事が分かりませんでした。

職場の後輩に、数式の意味を説明してもらったのですが、これが「掛け算」だという事が信じられませんでした。

「なんでコレが掛け算になるんだ? ×の記号なんて無いじゃないか…」

という私に後輩はこう話してくれました。

「…えっ?…だって、掛け算の記号なんて書かなくても分かるじゃないですか…」

それを聞いた私は、ますますワケが分からなくなり、

「記号が書いてなかったら、どことどこを掛けてるのか分からないだろーっ!」

と、言ってしまいました。

それを聞いた後輩は、呆れたような目で私を見て、ウンザリした感じでこう言いました。

「…安藤さん…それって…マジで言ってますぅ…ホント分かんないですか…?…。」

その後輩の様子から、自分がとても幼稚な発言をしている事に気づきましたので、それ以上この事について話すのは止めました。

たしか、今から10年くらい前の事だと思いますから、40歳過ぎてその程度の学力でしたね。

今、このように思い出して書いてても、とても恥ずかしいです(泣)

「数列の漸化式の記事」から、だいぶ話が脱線してしましまた。

すみません。

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