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時空 解 さんの日記

 
2021
3月 29
(月)
09:41
数検2級の「導関数」のまとめ
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

「実用数学技能検定要点整理2級」の "第5章 5-1 導関数" に付いて整理してみました。

(1) 導関数を導くための公式
まぁこれは個人的には大丈夫ですが、一応書いておきましょう。
   $ \left( x^n \right)’ = nx^{n \ – 1} $   例) $ \left( 2x^3 \right)’ = 2 \cdot 3 x^{3 - 1} = 6x^2 $
   $ \left( k \right)’ = 0 $      例) $ \left( 4 \right)’ = 0,~\left( 9 \right)’ = 0  $

(2) 与式の接線方程式
与式 $ f(x) $ で描かれる曲線グラフ上の任意の点を $ (a,~ f(a) ) $ とすると、この点の接線方程式は
$ y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a) $

例題 放物線 $ y = x^2 $ 上の点  $ (2,~4) $ における接線の方程式を求めなさい。
解答 接線の傾きは接するグラフの導関数なんで $ y' = 2x $ 。傾き $ 2x $ のグラフが点 $ (2,~4) $ を通るのだから、
   $ y - 4 = 2 \cdot 2(x - 2) $  これを整理すると $ y = 4x - 4 $
   答:$ y = 4x - 4 $

(テクニック 1)
$ f(x) $ と $ g(x) $ の二つの曲線に、ともに接する接線方程式の求め方。

・まずはどちらかの曲線 (例えば $ f(x) $) に付いて任意の点 $ (a,~ f(a) ) $ における接線方程式を立てる。
   $ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $

・次に残りの曲線グラフ ($ g(x) $) と上記の接線方程式とが接するのだから
   $ g(x) = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $
     上式の判別式 $ D = 0 $(重解) から $ a $ を求める。

・最後に
   $ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $
     に求めた $ a $ の値を代入して接線方程式を完成させる。

(テクニック 2)
座標平面上の点 $ (x_1,~y_1) $ から放物線 $ f(x) $ へ引ける2つの接線方程式の求め方

・まずは放物線 $ f(x) $ に任意の点 $ (a,~f(a)) $ を想定して、この点の接線方程式を立てる。
   $ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $

・次に上式に座標平面上の点 $ (x_1,~y_1) $ を代入すると、任意の点の $ a $ だけが変数として残る。
   $ y_1 = f'(a) \cdot (x_1 - a) + f(a) $

・最後に上式から変数 $ a $ を求めれば、2つの接線方程式が定まる。

うーむ…こんな整理なんてしてないで、どんどん先に進んだほうが良かったかな?
 (まぁブログのネタとしてまとめたようなものです)

"第5章 5-2 導関数の応用" に付いては、
 $ y = $ (定数) と曲線 (3次方程式) が接する点は何個か?
と言う問題がメインのようですから増減表が書ければ問題ないかなぁ…。ちょっと適当ですが、今日は辺で。

では今日も1日の習慣を始めてます。小さな一歩・挑戦を試みています。
閲覧(105)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/4/1 9:28  更新日時: 2021/4/1 9:28
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2169
 RE: 数検2級の「導関数」のまとめ
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

安藤商会さんは本当に勉強熱心ですね。とても刺激を受けます。

ここのブログを続けていて良かったですよ。

この場をお借りしてこん さんにも、シンプルで美しいコメントに感謝しています。

会員の皆さんに感謝です。
ではでは。( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/4/1 8:41  更新日時: 2021/4/1 8:41
常連
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 54
 RE: 数検2級の「導関数」のまとめ
'
こんにちは。

先ほど『02 (X^n)を微分の定義に従って微分しなさい』についての時空解さんのコメントを読みました。

なるほど、青チャートの解説を見て「二項定理」を利用する意味が分かりました。

「微分の公式」にはこんな理由があったのですね。今回はじめて知りました。

このような事実に直面すると「教科書的」なテキストで、基本からやり直す必要を痛感します。

私は「数学は問題さえ解ければいい‥」という考え方が強いですので‥。

とても勉強になりました。

お二人様、どうもありがとうございました。
時空 解
投稿日時: 2021/3/31 19:36  更新日時: 2021/3/31 19:36
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2169
 RE: 数検2級の「導関数」のまとめ
 
こん さん、今回もコメントを頂きありがとうございます。

お忙しいなかピンポイント的な投げ、「なるほどぉ」と唸っておりました。

「導関数」と「微分係数」の違いは? と問われて、正しく解答が出来なかった私です。めんぼくないです… _| ̄|○
この違いは調べて「なるほどぉ」と想いました。
微分係数と導関数の違いとその使い分け

確かに「導関数は "関数" 。微分係数は "定数値"」と、区別が明確に認識出来ているか否かで、頭の中の整理が随分と違ってくる気がします。
関連する例として、今回の接線方程式

(2) 与式の接線方程式
与式 $ f(x) $ で描かれる曲線グラフ上の任意の点を $  \textcolor{blue}{ (a,~ f(a) ) } $ とすると、この点の接線方程式は
$  \textcolor{red}{ y } -  \textcolor{blue}{ f(a) } =  \textcolor{blue}{ f'(a) } \cdot (  \textcolor{red}{ x } \textcolor{blue}{ - a }) $

上記の青文字のところと赤文字の違いをちゃんと認識できてないと混乱するのと似ていますね。実は前回の数検2級2次でこの認識が甘く
「おや?」
と混乱して頭が真っ白になった時がありました。( ^^;


「02 $ (x^n) $ を微分の定義に従って微分しなさい。」に付いてもいささか驚きでした。( えっ!

\begin{eqnarray}
f'(x)
 = \lim_{ h \to 0 } \frac{ f(x + h) - f(x) }{ h }
 = \lim_{ h \to 0 } \frac{ (x + h)^n - x^n }{ h }
\end{eqnarray}

ですからね。

$ (x + h)^n $ を展開…。

過去に $ n $ 乗を微分の定義で確認しようと思ったことが無かったので、指摘されて改めて認識しました!
これに付いては青チャート式数学IIに載っていました。( 右画像参照 )


うーむ… 確かに2項展開が自分の物に成っていないとお手上げです。

でもこれが分かればどうして $ n $ 乗を微分すると、係数 $ n $ が出てくるのかが分かります。

03, 04 に付いてもまた検討しようと想います。

ピンポイント指摘ありがとうございます。いつも勉強になっています。

では今回もコメントありがとうございます。( ^^).
こん
投稿日時: 2021/3/31 12:24  更新日時: 2021/3/31 12:24
半人前
登録日: 2018/4/10
居住地:
投稿数: 34
 RE: 数検2級の「導関数」のまとめ
こんにちは、こんです
すぐにレス出来ればよかったのですが
時間があれば、やって見てください。

導関数について、
01 導関数と微分係数の違いは?

02 (X^n)を微分の定義に従って微分しなさい。

これは、時空さんが苦手(?)な、二項定理(二項展開)を使用します。
他に因数分解を使う手もあります。

他の定理も「微分の定義に従って・・・」して見て下さい。結構勉強(他の分野の復習)になります。

03 与式の接線
これは、ちょっと前に安藤商会さん(お世話になります)が紹介していた「並行移動」の考え方を使うとわかりやすいです。
ちなみに、放物線(二次関数)は、並行移動(頂点の座標)と拡大縮小(相似)(a*x^2+b*x+c のa)です。

04 増減表について
増減表は、数3(数検 準1級)で非常に大切な分野です。

といっても、数3の分野は、「複素数平面」と「微積分」だけなので(あと「極限」)...

しっかり身に付けておけば後がラクです。

微積分は、このまま数検を受け続ける予定でしたら(準1級の数3の分野、1級の微積分(大学課程))適当に行くとアトで苦労します(経験者談)

今はとりあえずの試験に向かってがんばってください

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