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時空 解 さんの日記

 
2021
8月 18
(水)
11:01
数検、準1級1次、過去問。$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ の時 $ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値は?
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

数検の提携会場受検が今月の28日に迫っています。
私もボチボチと2級2次検定の学習を進めています。ここの会員の方の中にも、数検の受検に向けて学習を進めておられる方がいらっしゃいます。

数検に挑んでいるみなさん、一緒に頑張りましょうね!

昨日は、そんな会員の方からコメントを頂きました。

・コメントへのリンクはこちら

コメントの内容を一番よく表している一文は
「上手く式変形すれば、楽に計算できるものなのか?」
と言ったところでしょう。

数検の準1級の問題となると、たとえ1次であっても、ただ計算をすれば良い、と言うものでは無くなってくるようですね。
なにも考えずにまともに計算を始めると、時間が掛かってしまう場合もある - この点がちょっと怖いです。

会員の方から教えて頂いた問題は、次の通りです。(これは実際に過去に出題された過去問です)
 $ i $ を虚数単位とします。 $ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ のとき、$ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値を求めなさい。
皆さんでしたら、この問題をどう攻略しますか? …ではさっそく問題に取り掛かりましょう!

  …と  その前に…
    ちょっと待って下さいね! うーむ01

この問題を解く前に次の問題を考えてみてください。front-Q とでもしておきましょう。
 
front-Q
 $ i $ を虚数単位とします。 3次方程式 $ x^3 + 2x^2 + 9 = 0 $ の解の一つは $ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{11} i }{ 2 } $ であるか否か。
   解の一つである場合は ○。そうでない場合は × で答えなさい。

この front-Q の解法はピンくるでしょうか?
高校数学のIIで学習する「高次方程式」の問題ですよね。

答えは ○ です。

求め方は簡単で、実際に $ x $ を与式に代入して、その値が $ 0 $ になるか否かを確認すれば良いです。

でも、これだと虚数単位を含む分数計算を行うことになります。もうちょっと上手い方法はないかなぁ…と、皆さんも感じられると思います。

他に考えられる方法としては、実数解がどんな値か当たりを付ける、というものがあるでしょう。
実は、この $ x^3 + 2x^2 + 9 $ は $ (x + 3)(x^2 - x + 3) $ と因数分解できます。

 $ x^3 + 2x^2 + 9 = 0 $ となる $ x $ の実数値は?

この問いについても、$ x $ に実数を代入して、式の値が $ 0 $ になるのかを確認する必要があります。
でも、計算は簡単で、しかも3つ程度で済みます。

まず $ x $ に代入するのは整数として、負の数が妥当だということは分かりますよね?
それが分かったのなら、後は下記の計算をするだけです。
 
$ x = -1 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 9 = 10 $ 
$ x = -2 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 9 = 9 $ 
$ x = -3 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 9 = 0 $ 

つまり、
 
$ x = -3 $

$ x^3 + 2x^2 + 9 = 0 $
 
の一つの実数解だと分かります。

次に $ (x + 3) $ で  $ (x^3 + 2x^2 + 9) $ を割ります。

割り算の結果は
$ x^2 - x + 3 $
です。

これを2次方程式の解公式で解くと
$ x = \displaystyle \frac{ 1 \pm \sqrt{11} i }{ 2 } $ 
となり、 front-Q の答えは ○ だと分かります。

ここまでで、問題を考える時に試行錯誤する必要がある内容は
 
・直接 $ x^3 + 2x^2 + 9 $ に  $ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{11} i }{ 2 } $ を代入して計算する方法
・高次方程式のテクニックを使って確認する方法

上記2つだと、当たりが付くのではないでしょうか。


ではこの2つを踏まえて、もと問題に戻りましょう。
 $ i $ を虚数単位とします。 $ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ のとき、$ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値を求めなさい。


まず初めに、与えられた $ x $ を式に代入したら $ 0 $ になるか否かの当たりをつけたいですよね。
ですので、下記を実施します。
 
$ x = -1 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 7 = 8 $ 
$ x = -2 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 7 = 7 $ 
$ x = -3 $ の時は $ x^3 + 2x^2 + 7 = -2 $ 

この結果を見て、実数解は整数でないことがわかりますよね。$ 2 \lt x \lt 3 $ です。

この時点で $ x^3 + 2x^2 + 7 $ の因数分解はキレイな形ではできないことが想像できます。

だとすると、この問題は
$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $
を代入して計算しても、$ 0 $ ではない値が出てくる可能性が高いだろうなぁ…と思えませんか?
まぁこの判断はちょっと強引かも知れませんけどね。

ともかくこの時点で、私なら $ 0 $ にはならないな、と判断して直接式に $ x $ を代入、計算をはじめます。

まずは $ x^2 $ を求めましょう。
$ \displaystyle {\left( \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right )}^2 = \displaystyle \frac{ -3 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $

次に $ x^2 \cdot x $ を行います。
$ \displaystyle { \left( \frac{ -3 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right )} \cdot \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } = \displaystyle \frac{ -5 - \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $


最後に上の2つ結果を持って $ x^3 + 2x^2 + 7 $ を計算します。

皆さんならどう致しますか?
もっとよい思考錯誤・手順があるようでしたら、コメントを頂けるとありがたいです。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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閲覧(223)
カテゴリー
投稿者 スレッド
安藤商会
投稿日時: 2021/8/18 19:51  更新日時: 2021/8/18 19:51
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 236
 RE: 数検、準1級1次、過去問。$ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{7} i }{ 2 } $ の時 $ x^3 + 2x^2 + 7 $ の値は?
'
こんにちは。

時空解さん こんさん

お二人ともどうもありがとうございました。

なるほどっ!このような解法もあるのですね。

現在の私の能力では、とても自力では思いつけません。

今回はとても勉強になりました。
時空 解
投稿日時: 2021/8/18 16:18  更新日時: 2021/8/18 16:20
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2581
 Re: 数学3(数学検定 準1級)は数学1,...
こんにちは、こん さん。コメントありがとうございます。

おおーっ。こん さん。実はこの「余剰定理」をつかっての値の求め方について
「あぁ…まだ自分は分かってないないぁ」
と、思っていたんです。

まだまだ理解が不足している自覚はあるのですが、…共役複素数をつかって、まずは2次方程式を作ってやればいいんですかね? (ちょっと確信がありませんが…)

これをやってみると…
$ \left( x - \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \displaystyle \frac{ 1 - \sqrt{ 7 } i }{ 2 } \right) = x^2 - x + 2 $
となりますよね。

ここで $ (x^3 + 2x^2 + 7) $ を $ (x^2 - x + 2) $ で割ってやると、商が $ (x + 3) $ で、余りが $ (x + 1) $ と出て来ますね。

うーむ… 

この余り $ (x + 1) $ に $ x = \displaystyle \frac{ 1 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $ を代入すると、確かに
$ x = \displaystyle \frac{ 3 + \sqrt{ 7 } i }{ 2 } $ 

が出て来ますね。

ここら辺は本当に理解が必要なところですね。

青チャート式数学のAをちょっと前に学習していたもので、関連している「整数と割り算と商および余り」のところが頭の中に浮かんでいました。
「因数分解できない時に、その余りは何かなぁ…」
と、もやもやしていたところです。

とてもいいアドバイスをありがとうございます。
今日のブログ記事、けっこう書くのが大変だったんですが書いてよかった。
会員の方達にもとても有益な情報だと言えるでしょう。

お盆明けのまだ忙しい中、時間を裂いて頂いてとても感謝しています。
ありがとうございます。( ^^).
こん
投稿日時: 2021/8/18 13:45  更新日時: 2021/8/18 13:45
半人前
登録日: 2018/4/10
居住地:
投稿数: 37
 数学3(数学検定 準1級)は数学1,2の総復習ができる
時空さん、安藤商会さん お久しぶりです。
こん です。
母の初盆も終わりまして、少し息をつけるようになりました。
(まだ相続税の計算が・・・)

さて、今回の問題ですが、
私としましては、「計算力があれば7割取れる」の考え方でそのまま計算し始めます。
で、これでは味気ないので、他の考え方を、

x=(1+√7i)/2 ですが、この値は2次方程式の解の場合、どんな2次方程式か?
解の公式と比べると、
x=(-b+-√(b^2-4*a*c))/2a
a=1,b=-1,c=2という答えが出て
x^2-x+2=0
の解の1つとなります。
ここで、剰余の定理(A=BQ+R)を使うと
x^3+2*x^2+7=(x^2-x+2)(x+3)+x+1
となり、x+1に値を入力すれば答えがでます。

*********

ある先生が、
「数学3はやることはほとんどない。が、数学IA、IIBの内容を組み合わせることがあり復習ができてラッキーと考えなさい」

今回の問題で裾野を広げると、
01 x=(1+√7i)/2 が2次方程式の解の1つだとすると、もう一つは
x=(1-√7i)/2
(共役な数)だと証明しなさい。

02 剰余の定理、因数定理、A=BQ+R の問題を1つずつ作りなさい。

などとできます。特に類似問題を作成する(ただ単に数字を変えただけでない)、人に教える、ためにはその本質を理解していないとできないので非常に力になります。

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