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時空 解 さんの日記

 
2021
8月 27
(金)
17:41
二日前のコメントへのご返事。$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{ 5 }{ n } \right )^{2n} $。数検準1級1次検定問題
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。(すみません、おそくなりました)

今日はファインマン物理学をお休みして、会員さんからの8月25日のコメントについて書いてみたいとおもいます。
コメントは下記のリンクからご参照ください。
・RE: ファインマン物理学の記念すべき第1問。本書と問題集では違っています

コメントには3つの問題が記載されています。下記にそれを書き出してみましょう。

 

問題2
$ r $ を正の実数とします。2つの円
   $ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 $
   $ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2 $

がことなる2個の共有点をもつとき、$ r $ のとり得る値の範囲を求めなさい。
問題4
$ i $ を虚数単位とします。複素数 $ z = 1 - i $、$ w = \sqrt{ 3 } + i $ について、次の問いに答えなさい。
(1) $ z^6 \cdot w^3 $ の絶対値を求めなさい。
(2) $ z^6 \cdot w^3 $ の偏角 $ \theta $ を求めなさい。ただし、$ 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi $
問題7
次の極限値を求めなさい。
     $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{ 5 }{ n } \right )^{2n} $


 

 

まずは問題2ですが、これはコメントにあるとおり、とても単純な問題ですよね。
2つの与式は、円の方程式です。
中心点はそれぞれ

$ (2,~-1) $、$ (-1,~3) $

ですから、
「2個の共有点をもつ」
と言う、その意味を理解出来ればすぐに答えは出ます。

直線と円との共有点ではありませんからね。ここは冷静に考えれば、求める $ r $ の範囲はピタゴラスの定理を知っていれば導けます。
2つの円の中心点の距離は

$ 3^2 + 4^2 = 5^2 $

ですから $ 5 $ ですよね。したがって、$ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 $ の円の半径は $ 3 $ ですから、

$ 5 - 3 = 2 $

です。
$ r $ が $ 2 $ よりも大きくなれば、2つの円は2点の共有点を持つことになります。
また、$ r $ が大きすぎると今度は $ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 $ の円周を通り越して $ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2 $ の円周が広がってしまいます。

上記2つから $ 2 \lt r \lt (2 + 6) $ だと分かります。

答え:$ 2 \lt r \lt 8 $
参考 geogebra:https://www.geogebra.org/m/jn2an7wp


ところで、この問題を間違えるとしたら、それは円の中心点の距離 $ 5 $ の2乗の値 $ 25 $ から $ 9 $ を引いた値 $ 16 $ を $ r^2 $ と勘違いするところでしょうかね?
$ 16 $ の平方根を取って、$ 4 $。
この $ 4 $ を答えの「小さい値の方」と間違える…?


次の問題4は、まぁキッチリと計算してやるしかない問題ですかね…もしかしたら、もっと与式をシンプルに変形することができるのかも知れませんが、現時点での私の数学力からしたら、下記方法をとります。
 $ \left( (1 - i)^2 \right )^3 \cdot ( \sqrt{ 3 } + i )^3 $
$ = ( -2 i )^3 \cdot ( \sqrt{ 3 } + i )^3 $
$ = 8 i \cdot ( \sqrt{ 3 } + i )^3 $
$ = 8 i \cdot 8 i $
$ = -64 $

この絶対値なのだから $ 64 $

$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $ の公式がつかいこなせるか…ですね。
$ -64 $ が出て来て、その絶対値としては $ 64 $。ですから、偏角としては $ 180 ^\circ $ である $ \pi $ ですよね。


最後に問題7です。
これはリミットの公式で $ \displaystyle { \lim_{t \to \infty}  \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}=e} $ を知っている必要がある問題ですね。
でも、この公式を知っていれば、後はそれほど難しくはないです。

$ \displaystyle { \left( 1 + \frac{ 5 }{ n } \right )^{2n} } $ を $ \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}=e $ の形に持って行ければ、答えに辿り着けます。

$ \displaystyle \frac{ 5 }{ n } = t $ とおいて、与式を変形します。$ 2n $ のところも $ t $ を使う必要がありますから $ n = \displaystyle \frac{ 5 }{ t } $ より、$ 2n = \displaystyle \frac{ 10 }{ t } $ を使います。

与式 $ = \displaystyle { \lim_{t \to \infty}  \left( 1+t \right)^{\frac{10}{t}} } $
  $ = \displaystyle { \lim_{t \to \infty}   \{ \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}} \} ^{10} } $

  $ = e^{10} $

答え:$ e^{10} $


では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/8/28 7:36  更新日時: 2021/8/28 7:36
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2455
 RE: 二日前のコメントへのご返事。$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{ 5 }{ n } \right )^{2n} $。数検準1級1次検定問題
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

実体験のご感想・情報をありがとうございます。 .(^^ )

 - 「最後の極限の問題は、正答率は『全体34.0% 合格者 59.4%』です。他の出題と比べると極端に低いです。」-

確かに低いですね。
やっぱり準1級1次の問題は、時間配分が勝負のカギにも成ってくることを感じさせますよね。

それに、受検の機会がある・ないの件、誠に同感できる次第です。

確かに受検する機会が少ないということを考慮して戦略を練ることは重要ですね。

うーむ…

前回の数検でお知り合いになられた年配の方は、少しラフな感じで数検を受検されている様子ですね。

もしかしたら、その方は電卓も持ち込まずに数検を受検されていたりして… ( ^^;
(それはそれで、一つ上の受検の楽しみ方ですが…)

ともかく、今日が受検日です。

新型コロナが若い学生さん達にも蔓延し始めていますのでちょっと心配ですが、対策をちゃんとして受検に臨みますね。

昨日はブログの投稿が夕方になってしまって、ご心配をおかけいたしました。m( _ _ )m 
心配して頂き、ありがとうございます。

ではでは、お互いに頑張りましょう。
安藤商会
投稿日時: 2021/8/27 19:43  更新日時: 2021/8/27 19:43
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 175
 RE: 二日前のコメントへのご返事。$ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{ 5 }{ n } \right )^{2n} $。数検準1級1次検定問題
'
こんにちは。

コメントの問題をブログの記事にして下さり、どうもありがとうございます。

いつも午前中に更新されていますから、ひょっとしたら…

『とうとうコロナに感染してダウンかも…』

と思っておりました(汗)

明日が数検ですからね。「まさか…こんなタイイングで…」と。

最後の極限の問題は、正答率は『全体34.0% 合格者 59.4%』です。他の出題と比べると極端に低いです。

これは、一次検定の試験時間が、受験者には全然足りていない事を物語っていると思いませんか?

やはり、時空解さんは『準一級(一次検定)』に合格できる力はお持ちなのですね。

以前投稿したコメントの返答に書いていましたが、もぅ準一級を受験されても良いのかもしれませんね。

準一級は検定数が少ないですからね。準一級の検定が行われる時は『準一級検定受験』。

準一級の検定が行われないときは『二級二次検定受験』。

と、受験される級を切り替えてはどうでしょうか?

今流行りの言葉を使えば『二刀流』でしょうか?

ちなみに一級は個人検定でしか行われませんから、年に三回しかチャンスがありません。

前回(先月)の個人検定の時に、一級を受験するために勉強していた年配の方と知り合いました。

「一級よりも試しに準一級を受けてみようかと、受験級を変更した…」

らしいのですが…。

私の率直な感想は、『もったいない事をやらかしてるなぁ…考えが足りていない…』です。

どの級を受けようとその人の勝手なので、わざわざその方に向かって言いませんでしたが、私の本音言わせて貰えばそうなのです。

準一級なら、毎回ではないですが『提携会場検定』でも受験できるのです。

ですが、『数検一級』は年に『たった三回』しかない個人検定でしか受けられないのです。

検定本番で使用された生の『数検一級過去問』を入手する為にも、受からないかもしれないけど、受験した方が良いのです。

いつか一級取りたいのなら。

私も準一級の二次検定など、100%受からないと分かっていても受験しています。

この先に備えて、二次検定の問題を入手するためです。

ちなみに、来月9月の提携会場検定では準一級の検定はありません。10月の提携会場検定では行われます。

もちろん10月に行われる、本年度最後の個人検定もまだ残っております。

時空解さんも、準一級検定が行われるときは受けてみてはどうでしょうか?

こちらの会員の方や、『数学検定』でネット検索してこちらのブログに訪れ、今このコメントをお読みになっている方がみえましたら、改めてお伝えします。

数学検定は、どの級の受験も自由に受ける事ができます。

これから数学検定の『一級取得』を狙い、現在学習されているのでしたら、数多く開催される『提携会場検定』を利用される事を強くオススメすます。

数検の問題や採点には、毎回ものすごく『ムラ』があると感じるのがその理由です。

そして、提携会場検定では、二級までは毎回検定が行われますが、準一級は毎回ありません。

ですから、準一級の検定が行われる時は優先して受けて下さい。準一級検定が行われないときに二級を受けるのが効率的です。

一級は年三回しかない個人検定でしか受験できませんので、『いつか必ず一級取得する』つもりの人は、個人検定が開催される時は合格できる自信が無くても、問題を入手するために必ず受験すべきですね。

私が言っても説得力はありませんが、

『何事も戦略が大事です。闇雲に頑張ってるだけでは結果は出せません。』

数学検定など民間検定です。内容や採点などの厳密性などに何の保証もありません。

それでも「受験する」と言うのなら、それなりに自分なりの戦略を立てる必要があると、私は思いますね。

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