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時空 解 さんの日記

 
2021
9月 10
(金)
11:20
ファインマン物理学 第1巻 第5章 時間と距離 5-4 長い時間
本文
皆さんこんにちは、時空 解です。

やっと青チャート式数学Aの基本例題129の整理が付いたので、今日からまたファインマン物理学の整理に入れます。

ではさっそく…
 

第5章 時間と距離 5-4 長い時間
・長い時間を測るのはわけない。日数をかぞえるだけでよい - それをかぞえてくれる人がいる限りわけないことである
・他にも、たとえば、気の年輪だとか、河底の堆積物など、自然時計が役に立つ場合がある

・長い時間を測る時に、年数を数えることができないという場合には、他の測定法をみつけなければならない

もっとも成功した方法の一つは、放射性物質を "時計" として使うということである。日とか振子とかいう周期的現象はないけれども、また別の種類の "規則性" がある。

・ある種の物質のサンプルを一つとつてその放射能を測ると、その年代が一定の長さだけ古くなると、一定の割合で強さが減少することがわかっている
・放射能が $ T $ 日で半分になったとすると (これを半減期という) 、更に $ T $ 日たてば $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 4 } $ になる。以下同様である。任意の時間間隔 $ t $ を考えると、その中には半減期が $ \displaystyle \frac{ t }{ T } $ 個あるわけだから、$ t $ だけ時間がたった後に残っているものの割合は $ \left( \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} $ である

ある $ 1 $ 片の物質、例えば $ 1 $ 片の木、があって、それができたときには $ A $ という量の放射性物質が含まれていたということがわかっているとする。そして、直接の測定によって、いまは $ B $ という量の放射性物質が含まれているということがわかったとすれば、次の方程式をとくことによって、このものの年齢 $ t $ を計算することができる。
 $ \displaystyle { \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} = \frac{ B }{ A } } $

・空気中の二酸化炭素は、放射性アイソトープ $ C^{14} $ (宇宙線の作用でたえず補充されている) を少量含んでいることがわかっている
・あるものの中の炭素の全量を測れば、それのある一部分は、もとは放射性 $ C^{14} $ であったわけである。だから上の式の最初の値 $ A $ がわかる
(Wikipedia:天然同位体 参照)

・ウランには半減期が $ 10^9 $ 年のアイソトープがある。ウランは崩壊すると、鉛に変わる
・鉛とウランとは化学的性質がちがうので、化学的に形成された岩石 (溶岩の中で出来るなど) は始め、鉛とウランとは別々になる

ウランだけあったはずの場所が、一部分ウランで一部分鉛になっていく。それらの割合をくらべれば、ウランの何パーセントがなくなって、それが鉛に変わったのかということがわかる。

・このウラン法を拡張して、特定の岩石を使う代りに、海水の中のウランと鉛に着目して地球全体の平均をとると、地球自身の年齢はおよそ $ 55 $ 年であることがわかってきた
・地球にふってくる隕石の年齢もウラン法できめられるが、地球の年齢がそれと同じであることがわかったのは、面白いことである
・地球は、宇宙にただよっている岩片から形成されたものであり、また隕石はおそらく岩片の残りであると思われる
・宇宙に人間というものが生まれたのは、$ 1 $ ~ $ 1.2 $ 千万年の前のことだと、今では信ぜられている
・それ以前にどんなことが起こったか、我々は知らない。そこで、次のような疑問が当然おこってくる:この問題は意味をなすか?それより以前ということには意味があるのか?
 


さて、この節では時間の哲学的な意味から少し離れている感がありますのでちょっと残念なんですが、それを超える興味もまたありますね。
物事の決定に、数学がどのように応用されるのかを、まずは垣間見ることができました。それが放射性アイソトープを利用した年代測定ですね。

・放射能が $ T $ 日で半分になったとすると (これを半減期という) 、更に $ T $ 日たてば $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 4 } $ になる。以下同様である。任意の時間間隔 $ t $ を考えると、その中には半減期が $ \displaystyle \frac{ t }{ T } $ 個あるわけだから、$ t $ だけ時間がたった後に残っているものの割合は $ \left( \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } \right)^{\frac{ t }{ T }} $ である
 

自分はこんなふうに数式に表せるか、ちょっと自信がありませんでした。もっと数学の実力を養わないとね。( ^^;

それと、ウラン法によって地球の年齢が導かれるところですが、ちょっと Wikipedia で調べてみると…
地球の年齢

げげげっ! なんだこの方程式は? えっ!
 $ N=N_{0}e^{{-\lambda t}} $ 
ここでは放射性アイソトープの半減期が「崩壊定数 $ \lambda $」として使われていますね。

さらに「崩壊定数 $ \lambda $」を見ると
崩壊定数は崩壊する確率を表しており、崩壊定数が大きいほど短時間で数が減少すると理解できる。
げげげのげ! 確率が入ってくるんかい… _| ̄|○

現在では半減期が $ \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } $ とか、そんな単純な形ではなくて量子力学のせいで (おかげで) より厳密な数式に代わっているんですね。
今の自分では理解する気にも成れない。

数学検定の1級に合格できればなぁ…うーむ01
「俺は1級を持っているんだ、こんな数式、なんのその」
と言う意気込みが、心に生まれてくれる期待をする次第です。

では今日も休日を始めています。休日の充実こそ、人生の充実です。

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閲覧(51)
カテゴリー
投稿者 スレッド
時空 解
投稿日時: 2021/9/11 10:01  更新日時: 2021/9/11 10:01
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2455
 Re: 2019 第16刷発行
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

なるほど、すでにご自分の学習スタイル (?) を確立されているご様子ですね。長年にわたり書籍を手に取っているご様子が想像できます。

いつもご意見・アドバイスをありがとうございます。

ではでは。( ^^).

 
安藤商会
投稿日時: 2021/9/11 8:54  更新日時: 2021/9/11 8:54
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 175
 2019 第16刷発行
'
私が見た限りでは、第16発行が一番新しいのですが、誤植などが訂正されているかは…期待できないかも(泣)

購入されたら、『練習問題』は飛ばして『例題』と、その『考え方』だけを最後まで読んでみてはどうでしょうか?

その上で、また最初から『例題』を解いてみて、解ければ次の例題に進み、解けなければ『考え方』を読み直す。

『練習問題』は、例題が全て解けるようになって、『物足りなくなって』からやればいい気がします。

私は『例題』を解く時は、頭にハッキリと解法が浮かばない問題は、すぐ解説を読みます。

『5分考えて鉛筆が動かなければ…』

どころか、問題を読んだ直後に解法が思いつかなければ、そのまま解説を読みはじめます。

私が学習で一番怖れているのは、問題が解けない事ではなく『書いてる解説が理解できない事』です。

理解できなければ、ネットで延々と検索したり図書館や書店で類題を探し回らなければいけないですからね(泣)

ですから、とりあえず読んて解説が理解できれば、問題が全て解けなくても、その本は『終了した』と位置付けております。
時空 解
投稿日時: 2021/9/11 7:27  更新日時: 2021/9/11 7:27
管理人
登録日: 2015/6/21
居住地:
投稿数: 2455
 RE: ファインマン物理学 第1巻 第5章 時間と距離 5-4 長い時間
おはようございます、安藤商会さん。いつもコメントありがとうございます。

 『細野真宏シリーズ・確率』は本当にいいかも知れませんね。

今日はさっそく、書店に行って中身を確認しようかと思っているほどです。

これで確率の考え方がイメージ出来るといいのですけどね。安藤商会さんは確率のイメージをシッカリと持っているようで羨ましいです。

私は苦手意識を持ってから、てんで分らなくなっています…メンタル弱い… _| ̄|○

今日もコメントありがとうございます。( ^^).
安藤商会
投稿日時: 2021/9/11 0:22  更新日時: 2021/9/11 0:22
長老
登録日: 2021/2/15
居住地:
投稿数: 175
 RE: ファインマン物理学 第1巻 第5章 時間と距離 5-4 長い時間
'
こんにちは。

『確率』というものは、意外と物理と関係しているのですね。

ひょっとしたら、先日話題にした数学参考書『細野真宏シリーズ』の『確率』だけが、他を抜きん出た発行回数なのも、物理と関係しているのかもしれませんね。

理系大学の入試問題に多く出題されてるとか?

時空解さんも『細野真宏シリーズ・確率』を購入されてみてはどうでしょうか(笑)

私も読むつもりです。

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