皆さん こんにちは、時空 解です。 今日は「新課程 青チャート式数学II」の重要例題２５２ (改訂版 重要例題２４７) をやっていましたが、そこで４次方程式が出てくるんです。 これって重解が二つ、つまり $ (x +a)^2 (x +b) ^2 $ の形に因数分解できればいいと言うことは分かったのですが。 ４次方程式を因数分解する方法なんて、教えて貰ってないぞ！　 と、青チャート式数学の解説動画にモンクを言ってた次第なんです。 「しょうがないなぁ...

皆さんこんにちは、時空 解です。 今日は３角関数の合成がどんなに役立つのかが分かる問題を取り上げてみます。 それが 「青チャート式数学II」基本例題１６２(2) 　　　(改訂版では１５６(2)  ) です。 これは加法定理と３角関数の合成を利用して、一つの $ \sin $ にまとめています。これは物理学の波を数値化するのにとても重要ななることでしょう。 また、角度範囲をどう理解すればよいのか、それが良く分かっていないと答えが求められません。...

皆さんこんにちは、時空 解です。 高校時代から３角関数の公式の多さにはうんざりしていたのですが…。 例えば今日の朝のような問題に出くわすと 「なるほど、公式を知っていないとなかなか解法に辿り着けないだろうなぁ」 と、公式の存在意味を感じた次第です。 その問題は右画像にて参照してくださいね。 この問題、正５角形の一辺の長さを求めるにはどうしたら良いのか？　…そのために３倍角の公式が利用できることを教えてくれます。 でもま...

みなさん、おはようございます。時空 解です。   昨日青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の p210 基本問題133 を解いていてハマってしまいました。どうしても答えが合わないのです。 問題を下に示します。( 図形が見にくいですが、ごめんなさい ) この問題の (1) の AD の長さがどうしても答えと一致しませんでした。 午前中には、この謎を解く事が出来なくて、数学の学習が滞ってしまったんですよね。でも、...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 いやはや、最近は三角比の範囲について悩まされています。 考えてみると「実数全体の数」の集合と「$ 0 $ から $ 1 $ までの実数の数」の集合とではどちらが要素が多い集合でしょうかね？ 「自然数全体の数」の集合と「$ 0 $ から $ 1 $ までの実数の数」の集合の比較はよく出て来ます。これは可算集合と非可算集合の比較です。「$ 0 $ から $ 1 $ までの実数の数」の集合の方が要素が多いですね。濃度が濃いと...

皆さんこんにちは、時空 解です。 ３倍角の公式を学んでいて想ったことは 「高校時代の自分なら、雑に書いてしまって止めるだろうな」 と言うことです。 三倍角の公式…それは下記の公式なんですが… $ \sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha $ $ \cos 3 \alpha = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha $ これは左辺を加法定理...

皆さんこんにちは、時空 解です。 公式を覚えるのに、語呂合わせは人それぞれで良いかなぁと思います。 とにかく覚えられればいいですよね。　 いざとなったら、時間があれば加法定理から変形しても良いかと思います。３倍角の公式は「青チャート式数学II」の式変形を見るとややこしいのですが、加法定理から２倍角の公式を使わずに変形すると、意外と分かりやすい変形になると思います… でも、２倍角の公式をキッチリ記憶出来ている人、とくに ・$ \cos 2...

みなさん、おはようございます。時空 解です。   始めに一昨日の事ですが、このサイト「50代から理数を学ぶ」にまた新規登録してくださった方がいらっしゃいました！ 登録して頂いた方、ありがとうございます。これでお２人目です。特に優れたサービスを提供出来ている訳でもないのに嬉しい限りです。ブログを続けているおかげかなぁとも思っているのですが、同時に会員が増えて行くと責任も感じる次第です。 これからもより良いサイトにして行こうと思っていますので宜しくお願いいた...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   青チャート「改訂版 チャート式 基礎からの 数学I+A」の第３章１０節「２次関数の最大・最小と決定」のところを復習していて、自分が何を混乱していたのかが、１つ分かりました。 とても単純な事を意識していなかったために、定数 a と言うものに振り回されていました。 ・p129 の基本例題78 と p130 の基本例題79。 この２つの例題で使われている定数 a の違いに付いてです。   ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   昨日の数学の勉強予定は ・実用数学技能検定 要点整理３級 1-7 2次方程式 (p52 ～ p60) でしたが、p59 を終えたところで１０時になったので一旦切りを付けました。 p52 ～ p59 の間に重要な問題(自分に取って)が２つあったので、ブログの下書きを始めた次第です。つい書きたくなったんですよね。２次方程式の解の求め方なのですが、これって "因数分解" と "２次...

みなさん、こんにちは。 数学の勉強もやっと不等式を乗り越え、２次方程式にはいりました。はいったのですが、 "改訂版 チャート式 解法と演習 数学Ⅰ+Aー数研出版" の５３ページにある２次方程式の基本事項を見て 「こんなんだったかなぁ・・・」 と、首をひねった次第でした。随分と忘れています。もしかしたら私の時代と今の時代、ちょっと教育課程が変わっていて新しい解法が加わったのかな？と思うほどでした。 ともかく解法が３つあるんですね、下に項目名のみを書い...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   BM13901 と言うのを皆さんはご存知でしょうか？ ・[79._mathematical_text_bm_13901]   古バビロニア時代の粘土板なのですが、その中には２次方程式に関する解法が載っているのだそうです。 その例を一つ。  「正方形の面積から、その一辺を引いたら $ 870 $ であった。その正方形の一辺の長さを求めよ」 　　　---「天才数学者は...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   ２ヶ月前ほどのこと。２月２０日に２次方程式の解の公式の証明に付いて自分の考え方を書きました。 ・２次方程式の解の公式…平方完成の形から $ \sqrt{ 　 } $ を取る時、どうして絶対値記号を使わずに ± 記号なのかの解釈   この時には、まだ平方完成から解の公式を導き出すときに、どうして絶対値記号を使わないのか納得できなかったのですが…。 ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   今日の朝は２次方程式の解の公式の導き方について調べていました。   それほど複雑な式の変形でないので、解の公式の導き方は中学で習うようですね。Wikipedia のページを見て分ると思います。 ・二次方程式の解の公式   ですが、この２次方程式の解の公式を導く過程で、平方完成のところから平方根を取りますよね。下記の部分です。 $ {\displaystyle \l...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   今日は昨日の続きです。どうして絶対値記号わ使わないのか、その解釈が自分なりに出来ましたのでご報告したいと思います。   あくまでも個人的な解釈ですので、そこのところをご了承下さいね。 ちゃんと歴史的・数学的に調べた訳ではありませんよ…。   絶対値記号が世に出回ったのがカール・ワイエルストラスが１８４１年に導入した記号でした。 絶対値という用語でさえ、アルガ...

みなさん、こんにちは。 不思議に目で追って見ているだけでは分かりにくい２次方程式の解の公式です。私に取ってはそうでしたが、数学の参考書に沿って、数学の勉強を続けていると、分かってきます。因数分解して２次方程式を解く事を試みる。出来なかったら、今度は平方根を利用してみる…と進んで行って、その先に有名な２次方程式の解の公式に行き着く流れなのですが、納得できます。 ２次方程式が腑に落ちました。 "平方完成" という式変形を表す言葉があるのです...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 青チャート式数学Iの基本例題７８をやっていました。 この問題で迷いました、最大値・最小値の「ある・ない」の判断を、です。 特に迷った理由は変数 $ a $ が定義域に出てくる点です。ここで問題文を下記に書いてみますね。 基本例題７８ $ a $ は正の定数とする。定義域が $ 0 \leqq x \leqq a $ である関数 $ y = x^2 - 4x + 1 $ の最大値および最小値を、次の各場合について...

皆さん、おはようございます。時空 解です。   青チャート式数学Iを学習していて思い出しました。自分が高校の時にどうして数学の勉強をしなくなったのか？ それは、２次方程式の解と係数の関係。   これがどうにも腑に落ちなかったのが原因でしょう。数学が自分から遠のいたような、数学に自信がなくなったのは「対偶」のところだったんですけどね。これは高校の２年生の夏休み明けでした。でも、それよりも前に徐々に分らなくなっていたんでしょう。  ...

皆さんこんにちは、時空 解です。 三角関数では公式が重要になってきますよね。必修なのはなんと言っても加法定理。 加法定理の覚え方を語呂合わせで覚えている人は、でも少ない気がしますね。 加法定理の覚え方は、リズムで覚えると言った方がいいでしょうか…。そう言えばこんなブログ記事を４年以上前に投稿していました。 ・怖気づいた加法定理や３角関数の合成 上記のブログ記事を読み直してみると、自分は４年前はほとんど加法定理すら記憶してなかったんですね。 ...

皆さん、おはようございます。時空 解です。 １次方程式をなめていました。 $ y = ax + b (1 \leqq x \leqq 2 ) $ と言う関１次関数の値域が $ 3 \leqq y \leqq 5 $ となるときの、定数 $ a,~b $ の値を求める問題。皆さんはお分かりですかね？ 私は直ぐに (1) $ x = 1 $ の時に $ y = 3 $ で、 $ x = 2 $ の時 $ y = 5 $ だから、この連立方程式を解けば良いと考えま...