| 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題１(選択) |
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| \begin{equation} \begin{cases} 2x^2 -11x +9 (x \geqq 1) \\ x^2 +5x -6 (x \lt 1) \end{cases} \end{equation} とするとき、次の問いに答えなさい。 (1) 関数 $ y =f(x) $ の最小値とそのときの $ x $ の値を求めなさい。 (2) $ a $ を定数とします。 関数 $ y =f(x) $ のグラフと直線 $ y =a $ が異なる $ 4 $ 個の共通点をもつとき、 $ a $ のとり得る値の範囲を求めなさい。 この問題は解法の過程を記述せずに、答えだけを書いてください。 |
問題１(選択) 模範解答
(1) (i) $ x \geqq 1 $ のとき
$ f(x) = 2x^2 -11x +9 $
$ = 2 \left( \displaystyle { x^2 - \frac{ 11 }{ 2 } x + \frac{121}{16} } \right) \displaystyle - \frac{ 121 }{ 8 } +9 $
$ = 2 \left( \displaystyle { x - \frac{ 11 }{ 4 }} \right)^2 \displaystyle - \frac{ 49 }{ 8 } $
よって、$ y = f(x) $ は $ x = \displaystyle \frac{ 11 }{ 4 } $ のとき最小値 $ \displaystyle - \frac{ 49 }{ 8 } $ をとる。
(2) (ii) $ x \leqq $ のとき
$ f(x) = x^2 +5x -6 $
$ = \left( \displaystyle { x^2 + 5x + \frac{ 25 }{ 4 } } \right) \displaystyle - \frac{ 25 }{ 4 } -6 $
$ = \left( \displaystyle { x + \frac{ 5 }{ 2 } } \right)^2 \displaystyle - \frac{ 49 }{ 4 } $
よって、$ y =f(x) $ は $ x = \displaystyle - \frac{5}{2} $ のとき最小値 $ \displaystyle - \frac{49}{4} $ をとる。
(i), (ii) より、$ y =f(x) $ は $ x = \displaystyle - \frac{5}{2} $ のとき最小値 $ \displaystyle - \frac{49}{4} $ をとる。
(答) $ \displaystyle - \frac{5}{2} $ のとき最小値 $ \displaystyle - \frac{49}{4} $
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 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題２(選択) |
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