| 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題７(必須) |
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$ a $ を正の定数とします。関数 $ f(x) = \displaystyle \frac{1}{3} x^3 -4a^2 x +a^3 $ の、 $ 0 \leqq x \leqq 10 $ のおける最小値を $ m(a) $ とするとき、次の問いに答えなさい。 (1) $ 0 \lt a \lt 5 $ とします。関数 $ f(x) $ の $ 0 \leqq x \leqq 10 $ のおける 増減を調べることにより、$ m(a) $ を $ a $ を用いて表しなさい。 (2) $ a \geqq 5 $ のとき、$ m(a) $ を $ a $ を用いて表しなさい。 この問題は解法の過程を記述せず、答えだけを書いてください。 |
| 問題７(必須) 模範解答 |
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(1) $ f'(x) = x^2 -4a^2 $ $ = (x +2a)(x -2a) $ $ f'(x) = 0 $ となるのは、$ x = \pm 2a $ のときである。 $ 0 \lt a \lt 5 $ すなわち $ 0 \lt 2a \lt 10 $ のとき、 $ 0 \leqq x \leqq 10 $ における $ f(x) $ の増減表は下のようになる。 よって、$ x = 2a $ のとき $ f(x) $ は極小かつ最小となるので $ m(a) = f(2a) $ $ = \displaystyle \frac{ 8}{ 3 }a^3 -8a^3 +a^3 $ $ = \displaystyle - \frac{ 13 }{ 3 }a^3 $ (答) $ m(a) = \displaystyle - \frac{ 13 }{ 3 }a^3 $ |
(2) (記述解答なし) (答) $ m(a) = a^3 -40a^2 + \displaystyle \frac{ 1000 }{ 3 } $ |
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 第４４０回 実用数学技能検定 ２級２次 問題６(必須) |
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